Articulated robots（关节型机器人）

Mechanisms（机构）

\begin{aligned} 对一个矢量r，在不同坐标系下的表达分别为：\\ \begin{cases} ^0r=X\dot I+Y\dot J+Z\dot K\\ ^1r=x\dot i+y\dot j+z\dot k\end{cases}\\ 根据点积的几何意义，可以写出三条表达式：\\ \begin{cases} X=\dot I\cdot \dot r=\dot I\cdot \dot {r^1}=\dot I\cdot x\dot i+\dot I\cdot y\dot j+\dot I\cdot z\dot k\\ Y=...\\Z=... \end{cases}\\ 得：^0r=\begin{bmatrix}X\\Y\\Z\end{bmatrix}= \,^0R_1\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}=\,^0R_1\,^1r\\ 且：^0R_1=\,^1R_0^{(-1)}=\,^1R_0^T(即：旋转矩阵の逆=转置)\\ ^0R_1(1到0)=\begin{bmatrix} Ii&Ij&Ik\\Ji&Jj&Jk\\Ki&Kj&Kk \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} i在OXYZ的向量&y在OXYZ的向量&z在OXYZ的向量 \end{bmatrix}\triangleq \begin{bmatrix} n&s&a \end{bmatrix}\\ 约束：|n|=|s|=|a|=1;\,\,l_1\times l_2=l_3(三条);\\因此还剩下三个自由度，正好对应旋转矩阵\\ 举个例子，1坐标系绕0坐标系z轴逆时针转动，旋转矩阵为：\\ ^0R_1=\begin{bmatrix} cos&sin&0\\-sin&cos&0\\0&0&1 \end{bmatrix} \end{aligned}

RPY Angels（RPY固定角描述法）：先X，再Y，再Z，全部都默认绕世界坐标系转动。
- R：Roll横滚；P：Pitch俯仰；Y：Yaw侧航。
- $^0R_1=R_Z\,R_Y\,R_X$

Zxz Eular Angles：先Z，再x，再z。
- Z：Precession进动；x：Nutation章动；z：Spin自旋。
- $^0R_1=R_Z\,R_x\,R_z$
RPY Eular Angels：先X，再y，再z。

在 $\beta\ne\pm\frac{\pi}2$ 时的RPY Angle下的转换公式：

\beta=-arcsin(r_{31});\gamma=arctan2(r_{32},r_{33});\alpha=arctan2(r_{21},r_{11} )

在 $\beta\ne0 、\pi$ 时的Eular Zxz Angle下的转换公式：

\beta=arccos(r_{33});\alpha=arctan2(r_{13},-r_{23});\gamma=arctan2(r_{32},r_{33})

为了更好的完成后续内容，请不要让你的机器人出现 $\beta=\pm\frac{\pi}2$ 的奇异性现象，否则将无法确认 $\alpha,\gamma$ 的值。

其中，arctan2是双变量反正切函数，跟arctan基本一样，只是多规定了一下象限，能直接帮你判断象限和具体角度，一般用于编程。

旋转矩阵+偏移矢量： $^0r={}^0R_1{}^1r+{}^0d$

旋转矩阵（非齐次式） ——> 转移矩阵（齐次式）：

\begin{aligned} \begin{bmatrix}{}^0r\\1\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}{}^0R_1&{}^0d\\0_{1\times3}&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{}^1r\\1\end{bmatrix}= {}^0T_1\begin{bmatrix}{}^1r\\1\end{bmatrix} \end{aligned}

其中：

\begin{aligned}^0d=d_{3\times1}=\begin{bmatrix}d_x\\d_y\\d_z\end{bmatrix}\end{aligned}

同样满足链式法则： $^0T_2={}^0T_1\cdot{}^1T_2$ （绕自身坐标系右乘，绕世界坐标系左乘）

但是，与旋转矩阵不同的是， $^0T_1^{-1}={}^1T_0\ne{}^0T_1^T$

一种用于描述几乎所有机械臂运行工作方式的方法理论：find T between link i and link i-1for relative motions given (rotation and geometries of machanical parts，旋转和几何尺寸)

D-H Parameters：
1. 建立坐标系：将 link i 绕着 link i-1 旋转的转轴定义为Z_i轴，将 link i-1 指向 link i 的方向定义为X轴（ $x _ i=\pm(z _ {i-1}\times z _ i)/||z _ {i _ 1}\times z _ i||$ ）
2. **连杆偏距d：**前后两个X轴在Z_i-1轴上的距离。**旋转角 $\alpha$ ：**z_i-1和z_i轴的夹角（z_i-1绕着x_i旋转）。**连杆长度a：**z_i-1经过旋转角后（与z_i平行）与z_i的距离。**关节角 $\theta$ 😗*前后两个X轴，绕Z_i-1旋转的夹角（可变）。（按照顺序一个一个变换）（如果X/Z轴共线的话，那么d/a长度就是0）

\begin{aligned} ^{i-1}T_i=\begin{bmatrix} c\theta_i&-c\alpha_is\theta_i&s\theta_is\alpha_i&a_ic\theta_i\\ s\theta_i&c\alpha_ic\theta_i&-s\alpha_ic\theta_i&a_is\theta_i\\ 0&s\alpha_i&c\alpha_i&d_i\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix} \end{aligned}

注：同一个量平移和旋转可交换，两个旋转不可交换

已知末端点的位姿，求解各个关节角的旋转角度。可能存在两个问题：1）可能没有解析解（但是一般的工程师不会有那么NT给自己设计没有解析解的机械臂）；2）可能有奇异性，即非单一解。

已知： $^0R_6$ 和 $^0d_6$

\begin{aligned} ^0T_6(数据)=\,^0T_3(参数)\,^3T_6(待求)\\ ^0d_6(数据)=\,^0d_3(参数)+\,^0R_3(参数+待求)\,^3r_6(参数)\Rightarrow\,^0R_3(\theta_{1,2,3})\\ ^3R_6(待求)=\,^0R_3^T(上面求出来了)\,^0R_6(已知数据)\Rightarrow\,^3R_6(\theta_{4,5,6}) \end{aligned}

最终要求的参数：所有 $\theta$ 角。

路径规划：
- 路径表示关节空间或操作空间中的点或位置，操纵者在执行指定的运动时必须遵循这些点。
- 路径规划的任务是找到一种可行的方法，将起始位置和姿势连接到目标位置和姿势。
- 路径是对运动的纯几何描述，不回答机器人关节如何移动到目标角度的问题。
轨迹规划：
- 轨迹是指定定时定律的路径，例如根据每个点的速度和（或）加速度。
- 轨迹规划的任务是生成变量的时间序列，这些变量描述末端执行器相对于所施加的约束随时间的位置和方向