电力系统稳态分析笔记

碎碎念

• 下文中公式出现$$等形式就是没渲染好，最好开翻墙…因为确实有点卡
• 整理了PDF版本，内容跟下面差别不大，好处是可以打印而且不会出现渲染问题
  • 电力系统稳态期末复习
• 推荐一个98的老前辈的帖子，整理的很全也有一份样卷：
  • 【学习天地】电力系统稳态分析知识点整理 样卷 https://www.cc98.org/topic/4901089 复制本链接，打开【CC98】微信小程序，直接查看本帖！
• 第一章自己看书

电力系统元件数学模型

三相电力线路

电路参数

在集总参数模型中，我们可以用四个量来表示电路，即L,R,C,G。

• 分裂导线：

  • 每相导线的分裂导线的根数：n
  • 三相导线几何间距：$D_m =\sqrt[3]{D_{12}D_{23}D_{13}}$；分裂导线内部导线等值半径：$r_{eq} =\sqrt[n]{rd_{12}d_{13}\cdots d_{1n}}$

• 电感：

  • 架空线路正序电感：$x_1=2\pi fL_1=0.06283\text{ln}\frac{D_m}r+0.0157\,(\Omega/km)$
  • 分裂导线正序电感：$x_1 =2\pi fL_1=0.06283\text{ln}\frac{D_m}{r_{eq}}+\frac{0.0157}n\,(\Omega/km)$

• 电纳：

  • 架空线路正序电纳：$b_1=2\pi fC_1=\frac{17.45}{\text{ln}\frac{D_m}r}\times10^{-6}(s/km)$
  • 分裂导线正序电纳：$b_1=2\pi fC_1=\frac{17.45}{\text{ln}\frac{D_m}{ r _{eq}} }\times10^{-6}(s/km)$

• 电晕临界电压：$U_{cr}\propto r\text{lg}\frac{D_m}r$

等值电路

基本知识：

• 单位长度等值阻抗：$Z_1=r_1+jx_1$

• 单位长度等值导纳：$Y_1=g_1+jb_1$

• 波阻抗（特性阻抗）：$Z_c=\sqrt{Z_1/Y_1}\,(\Omega)$；传播系数：$\gamma=\sqrt{Z_1Y_1}=\alpha+j\beta$

• 当电路达成匹配（$Z_c=Z_2$）和无损耗（$g_1=r_1=0$）时，有：

  \begin{gather}\begin{bmatrix}U \\ I \end{bmatrix}=e^{j\alpha x}\begin{bmatrix}U_2 \\ I_2 \end{bmatrix}\end{gather}

• 

结论：

\begin{gather}\begin{cases} （中）100-300km的架空线或100km以内的电缆线：& \begin{cases} Z=Z_1l\\Y=Y_1l \end{cases}\\ （长）超300km的架空线或超100km的电缆线：& \begin{cases} Z=K_ZZ_1l\\Y=K_YY_1l \end{cases}& \begin{cases} K_Z=1+\frac{Z_1Y_1}6l^2\\K_Y=1-\frac{Z_1Y_1}{12}l^2 \end{cases} \\ （短）小于100km且电压低于35kV的架空线：&将\pi型等效电路的两个导纳删了 \end{cases}\end{gather}

变压器

双绕组变压器

根据变压器内部的量值大小关系，简化双绕组变压器的电路图如下图所示：

也就是说，我们需要求出R,X,G_m,B_m四个量。下面给出变压器的基本参数和求解方法。

**变压器参数：**哪些东西是我们事先知道的

• 变压器四个额定值：输入$U_ {1N},I_{1N}$，输出$U_{2N},I_ {2N}$
• 变压器额定容量：$S_N=\sqrt3U_ {1N}I_{1N}=\sqrt3U_ {2N}I_ {2N}$
• 原理：输出有功功率跟电感、电容大小无关，因此通过这个可以知道电阻、电导的大小；已知电阻、电导远小于电抗、电纳，因此电压降基本只和电抗、电纳有关，通过求电压降得到电感、电容大小。

短路实验求R,X：

• 输出端短路$U_2=0$，使左边达到额定电流$I_{1N}$，记下此时的电压$U_{k}$和输出功率$P_k$
• $R=\frac{P_ k}{3I_{1N}^2}=\frac{P_k}{1000}\frac{U_{1N}^2}{S _ {N}^2}\,(\Omega)$
• $X=\frac{U _k}{\sqrt3I_ {1N}}=U_k\frac{U_ {1N}}{S_ N}=(\frac{U _k}{U_{1N}})\frac{U_ {1N}^2}{S _N}=\frac{U_k\%}{100}\frac{U_ {1N}^2}{S _N}(\Omega)$

开路实验求G,B：

• 输出端断路$I_2=0$，使左边达到额定电压$U_{1N}$，记下此时的电流$I_0$和输出功率$P_0$
• $G _m=\frac{P_ 0}{U _{1N}^2}\times 10^{-3}(s)$
• $B_ m=\frac{\sqrt3I_0}{U _{1N}}=(\frac{I _0}{I_ {1N}})\frac{S _N}{U_ {1N}^2}=\frac{I_k\%}{100}\frac{S _N}{U_ {1N}^2}(s)$（一定要取负号！这个B_m只是大小，感纳为负）

三绕组变压器

三绕组变压器的公式与双绕组完全一样，但是多了两步。

P和U的必要归算：

• 因为三绕组每次短路只能选两个端口，因此有三个电压和损耗功率，并且是由两条支路的数据平分。
• 
• 电压（$U_k$）写法一模一样。

因为额定容量不同导致的归算：

• 以100/50/100为例，仅有1-3侧能达到额定容量，剩下两个都只有一般的额定电压。因此要将$U$乘上2，$P$乘上4。

G和B：

• 不需要上面这么麻烦的算，直接整就好。见课本例题。

最大短路损耗：

• 有些厂家只提供了P_kmax，那么就把这个当成容量最大的两个支路一起提供的损耗。然后电阻按照容量大小反向分配，即100/100/50就是两个100的电阻等大平分，50那组的电阻值大小就是100的两倍。比如：$R_1=R_2=\frac12\frac{P_{kmax}}{1000}\frac{U_{1N}^2}{S_N^2}\,;\,R_3=2R_1$

自耦变压器

• 变比：$k_ {12}=\frac{U _{1N}}{U_ {2N}}=1+\frac{\omega _s}{\omega _c}$
• 效益系数：$k_ b=\frac{I_ {com}}{I_2}=1-\frac1{k _{12}}$
• 通过磁耦合传递的最大功率（标准容量、设计容量）：$S_{st}=K_bS_N$
• 其用铜量、短路损耗都是普通变压器的$K_b$倍，其等值电路与普通变压器相同。
• 三相自耦变压器，公共绕组不过载的条件：$S_ {com}=\sqrt{(K _bP_1+P _3)^2+(K _bQ_1+Q _3)^2}<K_ b S _N$
• 三侧不过载条件：$S_i<\eta S_N$（$\eta=\frac{容量}{最大容量}$）

同步发电机和调相机

同步发电机

参数：

定子空载相电势	每相绕组电阻	定子纵轴、横轴同步电抗	功率角（$U$和$E_q$的夹角）
$E_q$或$jE_q$	$r$	$x_d,x_q$	$\delta$（注意和功率因数角区分！）

参数	隐极发电机$(x_d=x_q)$	凸极发电机
电压	$U=jE_q-(r+jx_q)I$	$U=jE_q-j(x_d-x_q)I_d-(r+jx_q)I$
有功	$P=\frac{E_qU}{x_d}\text{sin}\delta$	爬
无功	爬	爬

• 其中，r，x_d，x_q可能会提供标么值、两种形式的百分值等。其转换如下（都一样的，以r为例）：
  • r=r_*\frac{U_N^2}{S_N}=\frac{r%}{100}\frac{U_N^2}{S_N}

无功补偿设备

	调相机	并联电容	并联电抗	静止补偿器
电压方程	$U=E_q-jx_dI$
无功功率	$Q=UI=\frac{U(E_q-U)}{x_d}$	$Q=U^2B_C$	$Q=	U^2B_L

多级电力系统

方法：设定基本级——用实际变比归算到基本级——解归算后的网络——解耦至原级

$$U'=kU;I'=\frac{I}k;Z'=k^2Z;Y'=\frac Y{k^2}$$

标幺值

三相功率	线电压	阻抗	导纳	电流
基准值$S_B$	基准值$U_B$	$Z_B=\frac{U_B^2}{S_B}$	$Y_B=\frac{S_B}{U_B^2}$	$I_B=\frac{\sqrt3S_B}{U_B}$

• 方法：将基本级的基准值归算到各级（实际上只用归算U），然后用这个U和S_B来计算各级的阻抗、导纳。

非标准变比

• 用变压器标准变比来归算（从基本级到各级），代价是把变压器的$\tau$型等值电路变成了$\pi$型，要复杂一点

• 书里的图片不好，不应该用k，容易引起误导，应该用$k^*$（从1到2是$1:k^*$，注意顺序）

  • $$\frac{k^*}1\cdot\frac{U_{2B}}{U_{1B}}(标准变比)=\frac{U_{2T}}{U_{1T}}(实际变比)\Rightarrow k^*=\frac{U_{2T}/U_{1T}}{U_{2B}/U_{1B}}$$

电力系统潮流计算

手算公式

电力线路

$\Delta U$	$\delta U$	$\frac B2$损耗S(等于Q)	$Z$上损耗S(P+jQ)
$\frac{PR+QX}{U_j}$	$\frac{PX-QR}{U_j}$	$-jU_i^2\frac B2$和$-jU_j^2\frac B2$	$\frac{P_j^2+Q_j^2}{U_j^2}(R+jX)$

• 一些简化：一般而言X远大于R，$\Delta U$对电压的影响远大于$\delta U$

电压降落	电压损耗	电压偏移	电压调整	输电效率
$\Delta U+j\delta U$	$\frac{U_1-U_2}{U_N}\times100\%$	$\frac{U_{1/2}-U_N}{U_N}\times100\%$	$\frac{U_{20}-U_2}{U_{20}}\times100\%$	$\frac{P_2}{P_1}\times100\%$

变压器

• $\Delta P=\frac{P^2+Q^2}{U_j^2}R_T+U_i^2G_T$
• $\Delta Q=\frac{P^2+Q^2}{U_j^2}X_T+U_i^2B_T$

手算潮流

• 辐射型网络：功率推算过去，电压推算回来

• 两端供电网：

• 环形供电网：
  • 单电压级：任一点解环，用两端供电网求解，dU=0
  • 多电压级：阻抗端解环，$\text dU=U_A(\frac1{k_1}-\frac1{k_2})$

电算潮流

数理基础推导

• 节点电压方程（原方程）：$\dot I_i=\sum_j y_{ij}(\dot U_i-\dot U_j)$

• 节点导纳矩阵：$Y=[y_{ij}]$，其中$Y_{ij}=-y_{ij}\,;\,Y_{ii}=\sum_{j=0} y_{ij}$

  • 得：$\dot I_i=\sum_{j=1}Y_{ij}\dot U_j$，$\dot I=Y\dot U$

• 对地支路导纳只影响$y_{ii}$，变压器节点要注意使用非标准变比的变压器$\pi$型等值电路等效，注意$1:k^*$的方向

• 功率方程：$\widetilde S_i=P_i+jQ_i=\dot U_i I^*=\dot U_i\sum_{j=1}Y_{ij}^*U_j^*$

G-S计算法

• 公式推导：

\begin{gather*} P_i+jQ_i=\dot U_i\sum_{j=1}Y_{ij}^*U_j^*=\dot U_i(Y_{ii}^*U_i^*+\sum_{j\neq i}Y_{ij}^*U_j^*)\\ \Rightarrow \begin{cases} PQ:&\dot U_i=\frac1{Y_{ii}}(\frac{P-jQ}{U_i^*}-\sum_{j\neq i}Y_{ij}\dot U_j)\\ PV:&Q_p=\text{Im}(\dot U_p\sum_k Y_{pj}^*U_j^*) \end{cases} \end{gather*}

[注]：PV节点也需要列写上面的电压修正方程，但是最后只修正相角不修正电压幅值。

N-R计算法

• N-R方程：$y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)=0\Rightarrow x =x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}$

• 理论依据：$P_i+jQ_i=\dot U_i\sum_{j=1}Y_{ij}^*U_j^*$

\begin{gather*} \Rightarrow \begin{cases} P_i=U_i\sum_jU_j(G_{ij}cos_{ij}+B_{ij}sin_{ij})\\Q_i=U_i\sum_jU_j(G_{ij}sin_{ij}-B_{ij}cos_{ij})\\ \end{cases} \\\Rightarrow \begin{cases} \Delta P_i=\sum_j(\frac{\partial\Delta P}{\partial \theta_j}\Delta\theta_j+\frac{\partial\Delta P}{\partial U_j}\Delta U_j)=\sum_j(H_{ij}\Delta\theta_j+N_{ij} \Delta U_j/U_j) \\\Delta Q_i=\sum_j(\frac{\partial\Delta Q}{\partial \theta_j}\Delta\theta_j+\frac{\partial\Delta Q}{\partial U_j}\Delta U_j)=\sum_j(J_{ij}\Delta\theta_j+L_{ij} \Delta U_j /U_j)\\ \end{cases}\\ \begin{bmatrix}\Delta P\\\Delta Q \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}H&N\\J&L \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\Delta\theta\\U^{-1}\Delta U \end{bmatrix} \end{gather*}

• 直角坐标形式：

要把PV节点的方程换成：$f_{Ui}=U_{is}-e^2-f^2$

P-Q分解法

\begin{gather*} 简化：\begin{cases} cos\theta_{ij}\approx1\\G_{ij}sin\theta_{ij}<<B_{ij}\\Q_i(互导纳)<<U_i^2B_i(自导纳)\\ \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} H_{ij}= L_{ij}\approx U_iU_jB_{ij}\\N_{ij}=L_{ij}\approx0 \end{cases}\\ \Rightarrow \begin{cases}\Delta P=UB'U\Delta\theta\\\Delta Q=UB''\Delta U\end{cases} \end{gather*}

• 好处：用一个n-1和一个n-m-1阶的方程组代替2(n-1)-m阶的方程组

• 其中，$B’$是去掉平衡节点的节点导纳矩阵（的虚部），$B''$是去掉平衡节点和PV节点的节点导纳矩阵（的虚部），$U$是对角矩阵

直流潮流法

\begin{gather*} 继续简化：\begin{cases}g_{ij}=0,b_{ij}=-\frac1{x_{ij}}\\U_i=1\\sin_{ij}=\theta_i-\theta_j \end{cases}\Rightarrow\begin{cases} \theta=(-B')P\\P_{ij}=\frac{\theta_i-\theta_j}{x_{ij}}\end{cases} \end{gather*}

有功与频率调整

• 基本方程：
  • $\frac{T_j}{\omega}\cdot\frac{\text d\omega}{\text dt}=P_T-P_E$
  • $发电机发电P_G=线路网损P_L+负载损耗P_D$

频率调节效应系数（单位调节功率）

• 负荷：

  • $P_D=a_0P+a_1P(\frac{f}{f_e})+\dots+a_nP(\frac f{f_e})^{n-1}$，负载消耗有功与频率同向变化，小范围内近似为直线
  • $K_D=\frac{\Delta P_D}{\Delta f}=\sum ia_i$，为曲线斜率，$K_{D*}=\frac{\Delta P_D/P_N}{\Delta f/f_N}$

• 发电机：

  • 发电机输出有功与频率反向变化，近似为直线
  • $K_G=-\frac{\Delta P_G}{\Delta f}$，为曲线斜率的负数（绝对值），$K_{G*}=\frac{\Delta P_G/P_N}{\Delta f/f_N}$

• 整个电力系统：

  • $K_S=K_G+K_D$（三个都是正数，建议使用有名值而非标幺值）$K=K_*\frac{P_N}{f_N}$

一次与二次调频

一次调频：调速器。二次调频：调频器。

• 一次调频：$\Delta P_D=(K_G+K_D)\Delta f'=K_S\Delta f'$，即$f_0'=f_0-\frac{\Delta P_D}{K_S}$（这里的$P_D$就是上图中的$P_L$，表示负荷而非网损）

• 二次调频：$\Delta P_D-\Delta P_G=K_S\Delta f''$，即$f_0''=f_0-\frac{\Delta P_D-\Delta P_G}{K_S}$

• 联合调频：就是相当于变成了一个系统，调节系数和功率消耗都相加——$\Delta f=\frac{\Delta P_a+\Delta P_b}{K_a+K_b}$

  • $\Delta P_{ab}=\frac{K_a\Delta P_b-K_b\Delta P_a}{K_a+K_b}$

有功的经济分配

• 等微增率原则：（目标：$minF$）

\begin{gather*} 不考虑网损：\begin{cases} \sum P_{Gi}=P_D\\\frac{\partial F_i(P_{Gi})}{\partial P_{Gi}} =\lambda \end{cases}\Rightarrow考虑网损：\begin{cases} \sum P_{Gi}=P_D+P_L\\\frac{\partial F_i(P_{Gi})}{\partial P_{Gi}}\frac1{1-\frac{\partial P_L}{\partial P_{Gi}}}=\lambda \end{cases} \end{gather*}

• 先计算，后验算。若有$P_{Gi}>P_{Gi\,max}$则取其为最大值，对剩下的系统再次用等微增率原则进行分配。最小值同理。

无功与电压调整

变压器调压

遇到这种问题不要急也不用硬背公式，先画电路图再写电压方程，慢慢转化，把k换成额定变比，记住我们最终要求的量是1侧的额定电压。

无功补偿装置调压

由$U_1\approx U_2'+\frac{PR+QX}{U_2'}=kU_{2R}+\frac{PR+(Q-Q_C)X}{kU_{2R}}$，得到$Q_C\approx\frac{kU_{2R}}X(kU_{2R}-U_2')$

• 最小补偿容量$Q_C$：（与变压器分接头共同调节）

步骤	调相机	并联电容器
$Q_{Cmin}$	$-K_QQ_{CN}$（取K=0.5）	$0$
1	将最大最小Q带入公式联立 $k=\frac{U_{2Rmax}U'_{2max}+2U_{2Rmin}U_{2min}'}{U_{2Rmax}^2+2U_{2Rmin}^2}$	最小负荷下选分接头 $U_{1t}=\frac{U_{1min}-\Delta U}{U_{2Rmin}}U_{2t}$
2	求得变比K后选择最近的分接头，求$Q_{CN}$并验算	按上述$Q_C$公式确定补偿容量并验算

串联电容调压

上面是改变Q，这个是改变X：$U_1\approx U_2+\frac{PR+QX}{U_2}=U_{2R}+\frac{PR+Q(X-X_C)}{U_{2R}}$，得到$X_C\approx\frac{U_{2R}}Q(U_{2R}-U_2)$

设串联了$n$组电容，每“组”电容由$m$个电容器并联而成，则：

• $m=I_{Cmax}/I_{CN}$，$n=X_C/(\frac{X_{CN}}m)$，$Q=3mnQ_{CN}$

无功的经济分配

• 等微增率原则：（目标：$minP_L$）

\begin{gather*} 考虑无功网损：\begin{cases} \sum Q_i=Q_L+Q_D\\\frac{\partial P_L}{\partial Q_{i}}\frac1{1-\frac{\partial Q_L}{\partial Q_{i}}}=\lambda \end{cases} \end{gather*}