电机学笔记（总）

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  • 为了防止电机学课程总结作业的查重（那啥x），老版本带了一点点水印，应该不影响阅读
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  • 电机学笔记
• 字太多了，难免有打错的，大家见谅（找到问题跟我说一句谢谢）

导论与数理基础

	势能	场强	流	介质	阻	欧姆定律
电	电动势$U=\oint E\text dl$	电场强度E	电流I	$\varepsilon$	$R=\frac{\rho l}A$	$i=\frac u R$
磁	磁动势$F=\oint H\text dl$	磁场强度H	磁通$\phi$	$\frac1{\mu}$	$R_m=\frac l{\mu A}$	$\phi=\frac F{R_m}$

1. 全电流定律

   $$\oint H\text dl=\Sigma i=Ni$$

2. 基尔霍夫定律

   $$\begin{aligned} 对任意节点（封闭曲面），流之和为0：&\Sigma\phi=0\\对任意回路，势之和为0：&\Sigma F=\Sigma Ni=\Sigma Hl=\Sigma \phi R_m \end{aligned}$$

3. 电磁感应定律

   $$e=-\frac{\partial\Psi}{\partial t}=-N\frac{\text d\phi}{\text dt}$$

直流电机

基本结构

$$\begin{aligned} \begin{cases} 静止部分：定子 \begin{cases} 机座：支撑、构成磁极间的磁通回路\\ 主磁极：产生气隙磁场 \begin{cases} 励磁绕组：用于产生励磁磁场 \\ 主磁极铁芯 \end{cases} \\电刷装置：将电枢绕组和外电路联通\\ 换向极：改善两换向器间Gap性能 \end{cases} \\ \\ 转子（电枢） \begin{cases} 电枢铁芯：用来放电枢绕组，由硅钢片叠成\\ 电枢绕组：机电能量转换，绕成定性线圈嵌在电枢铁芯内\\换向器 \end{cases} \end{cases} \end{aligned}$$

注：电枢和励磁究竟谁是定子谁是转子，依据不同的情况来看。直流电机中以上述为主，同步电机中则相反（即电枢变成了定子）。

• 额定功率$P_N$
  1. 发电机输出电功率：$P=EI=2Blv\cdot I=2BIlv$
  2. 电动机输出机械功率：$P=T\cdot\Omega=2F\cdot\frac D2\cdot\frac{2\pi n}{60}=2BIlv$

电枢绕组

​ 每一匝绕组元件$i$始于一个换向片$i$，然后其上元件边通过槽$i$，下元件边通过槽$j$，最终另一个端口终于另一个换向片$k$。一个换向片连着两个绕组元件，一个始，一个终。可以看到，一个绕组元件我们用了三个量来表示，因此一个绕组元件的三个特征值就是$i,j,k$。

​ 对于叠绕组，一定有$k=i+1$，波绕组则是$k>j>i$。在绕组连接表中，一根实线+一根虚线代表了一个绕组元件，其三个端点正好对应着上文的三个值：起始片&上元件边$i$,下元件边$j$,终止片$k$。

$$元件数S=虚槽数Z_u=换向片数K$$

• Def：主磁极极对数：P（P对，2P个）
• 在这里，“槽数”变相的成为了一种单位。

参数	叠绕组	波绕组
极距$\tau$：一个主磁极跨度所占据的槽数	$\tau=\frac{Z_u}{2P} =\frac K{2P}$	$\tau=\frac{Z_u}{2P} =\frac K{2P}$
换向器节距$y_k$=合成节距$y=y_1+y_2$	$y=\pm1$	$y=\frac{K-1}P$
第一节距$y_1$：同一线圈上下元件边跨过槽数	$y_1=\lfloor\tau\rfloor$	$y_1=\lfloor\tau\rfloor$
第二节距$y_2$：上一线圈下层边 - 下一线圈上层边	$y_2=y-y_1$	$y_2=y-y_1$
电刷数（相当于截断）	2P	理论2，实际2P
并联支路数	2P个，P对 每一级构成一条支路	2个 同一极性(N/S)一条支路

• 两者唯一有区别的就是合成节距的算法，其他的都一样。

直流电机磁场

​ 直流电机一共有两个磁场，一个是定子通电提供的定子励磁磁场，一个是转子的电枢磁场。励磁磁场相对简单，会在空间中产生励磁磁动势$F_f$（起主要作用）；电枢磁场会在空间中产生电枢磁场磁动势$F_a$，对励磁磁场产生影响；两者叠加产生气隙磁场（带载磁场）。

励磁磁场$F_f$

分类：

1. 他励：励磁绕组和电枢绕组用不同的独立电源供电
2. 并励：励磁绕组和电枢绕组并联供电
3. 串励：励磁绕组和电枢绕组串联供电
4. 复励：有两个励磁绕组，并+串；积复励/差复励

磁场特点：

1. 在空载时，电枢电流$I_a=0$，不产生磁场。因此空载时直流电机的磁场分布，就是励磁磁场。

2. 励磁磁场由主磁极的主磁通产生，因为存在严重的饱和，因此在主磁极覆盖范围内均水平，在气隙处迅速下降。

   

3. 总磁动势计算：$F_0=\oint H\text dl=2I_fN_f$，若忽略漏磁通，则$F_0=2F_f\,\,;\,\,F_f=I_fN_f$。

电枢磁场$F_a$

​ 电枢是转子，电枢磁场由电枢绕组上的导体通入的电流产生，而导体均匀分布导致电流近似均匀分布，因此电枢磁场磁动势大小随着坐标$x$线性增大。直到通过换向片处电流反向，此时磁动势大小线性减小。

(a) 电刷放置在几何中心线上:

1. 磁动势计算：$F_a={\sum i}=\frac{x}{\pi D_a}Ni_a=\frac{Ni_a}{\pi D_a}x$，并定义电枢表面线负荷$A\triangleq \frac{Ni_a}{\pi D_a}$

2. 气隙电枢磁密：$B_{ax}=\mu_0\frac{F}{\delta'}$，先线性增大，超出主磁极范围接近换向片后，由于气隙的急剧增大而急剧减小。

   

(b) 电刷不在几何中心线上:

1. 在实际中，由于误差导致电刷偏离了中心线一个小角度$\beta$，即长度$b_{\beta}=\frac D2\beta$。
2. 将磁场分解（实际上是将环绕了电枢一圈的电枢电流分解）为交轴磁场和直轴磁场。
   1. 交轴磁动势：与原电枢磁动势很像，以原电刷位置对称（几何中心线），但是三角波的尖头被削平。
   2. 直轴磁动势：与原励磁磁动势很像，以主磁极位置对称，方向相同或者相反。

电枢反应

​ 电枢反应实际上就是指两个磁场叠加，合起来对电机的工作产生影响。不难看出，两个磁场都是静止的：励磁磁场静止是因为定子本来就静止，可以直接看做是不动的永磁体；电枢磁场静止是因为，即使电枢导体的电流在随着转子转动经过换向器不断改变方向，但是宏观上磁场一直以换向器为中心对称。

​ 由于励磁磁场沿主磁极轴对称，而电枢磁场沿换向片对称，主磁极与电刷正好相差90°电角度（电刷塞在两磁极中的空隙里），因此一般呈现交轴电枢反应（建议与同步电机一起看）：

1. 两者相位差90°，电枢磁场使励磁磁场产生畸变
2. 交轴反应理论不改变总磁通大小，但是由于饱和，增磁处难以增磁，因此磁通一般而言还是会减小
3. 直轴电枢反应由电刷偏离几何中心线引起，表现为增磁或去磁
4. 电枢反应的影响一般在题目中会用额外励磁电流 $I_{faq}$ 等效，表示为了“抗衡”电枢反应，需要额外提供的励磁

感应电动势&电磁转矩

$$\begin{aligned} E_a=\frac{NP}{60a}\cdot\phi \cdot n\\T=\frac{NP}{2\pi a}\cdot\phi\cdot I_a \end{aligned}$$

直流电机模型与特性曲线

	发电机	电动机
模型
电压	$E_a=U+I_aR_a+2\Delta U_b$	$U=E_a+I_a(R_a+R_{aj})$
	$U=I_f(R_f+R_j)$	$U=I_f(R_f+R_j)$
电流	$I_a=I+I_f$	$I=I_a+I_f$
转矩	$T_1=T_{em}+T_0$	$T_{em}=T_2+T_0$
功率

[注]：在并励发电机功率中也有$p_{cuf}$的铜耗，这里没标注

同步电机零功率因数负载特性

	发电机	电动机
负载特性
特点	对发电机而言，电枢反应的影响等效为额外的励磁电流$I_{faq}$，并且由于$I_aR_a$电流—端电压”表或曲线时，需要使用$I_{f0}=I_{fN}-I_{faq}$！复励中串联的磁动势需要折算：$\frac{I_sN_s}{N_f}$	其实没啥好说的，这图应该见过比较多次的。需要注意的就是 $\eta=(1-\frac {\sum p}{P_1})\times 100\%$，在可变损耗$I_a^2R_a$=不变损耗$p_0$时取到效率最大值
外特性
特点	对于并励发电机，除了上图的$U_0=f(I_f)$外还需要满足$U_0=I_f(R_f+R_j)$，两者的交点即为空载端电压。因此其自励是需要满足剩磁+励磁电阻大小合适两个条件（当然接法要正确）	方程：$n=\frac{U-I_aR_a}{C_e\phi}=\frac{U}{C_e\phi}-\frac{R_a}{C_eC_T\phi^2}T_{em}$。这条最基础的方程就揭示了三个调速方法：调压（向下平移）、串阻（向下倾斜）、弱磁（向上平移+向下倾斜）

电动机的调节

$$n=\frac{U-I_aR_a}{C_e\phi}=\frac{U}{C_e\phi}-\frac{R_a}{C_eC_T\phi^2}T_{em}$$

起动

​ 起动的要求是具有足够小的电流$I_{st}$与足够大的启动转矩$T_{st}$。由电动机的机械特性（即上表中的外特性），可以得到：

	降压起动	串电阻起动
起动电流	$I_{st}=\frac{U'}{R_a}$	$I_{st}=\frac{U_N}{R_a+R_{aj}}$
起动转矩	$T_{st}=\frac{U'C_T\phi}{R_a}$	$T_{st}=\frac{U_NC_T\phi}{R_a+R_{aj}}$

调速

	调压调速	串电阻调速	弱磁调速
特点	只能降转速，特性曲线一样硬	只能降转速，特性曲线变软，耗能，轻载时不明显	只能增转速，用于恒转矩负载时$I_a=\frac{T}{C_T\phi}$变高，适用于恒功率负载

制动

分类	反接制动		能耗制动	回馈制动
	电压反向(II)	电动势反向(IV)		电压反向(IV)	电压不反向(II)
实现	电枢电压UN反向并串限流电阻	串一个极大的电阻Raj	断开电源并串限流电阻Raj	电压反向的反接制动，n=0不停机，Tem=0时切除电阻使匀速下放	电车下坡时具有同向转矩，转速冲过y轴
特点	快速停机，需要在n=0时手动停机	特性曲线极软，适用于位能型负载	恒转矩负载：自动停机 位能型负载：反向起动	位能型负载的匀速下放	电车下坡
能流方向	电源给电机供能，同系统动能一起消耗在电阻上		电源断开无输入，动能消耗在电阻上	匀速下放阶段将势能转成电能回给电网	能量回馈制动状态

变压器

等效电路与物理量

T型等效	$\tau$型等效

根据小学二年级学的基尔霍夫，我们可以很容易的写出电路关系：（物理量的等效关系不再赘述，反正就是$k$或者$k^2$倍）

1. $E_1=\sqrt2\pi fN\phi_m$
2. $\dot U_1=(-\dot E_1)+\dot I_1(R_1+jX_{1\sigma})\approx-\dot E_1$
3. $\dot U_2'=\dot E_2'-\dot I_2'(R_2'+jX_{2\sigma}')$
4. $\dot I_m=\dot I_1-(-\dot I_2)$
5. $\dot E_1=\dot E_2'=-\dot I_m(R_m+jX_m)$
6. $\dot U_2'=\dot I_2'Z_L'$

励磁参数$(R_m+jX_m)$	绕组电阻、漏电抗$(R_1+jX_{1\sigma})$
励磁参数反映了主磁通对变压器的影响，其中励磁电阻反映铁耗$p_{Fe}$，励磁电抗反映电磁效应。因为其反映磁通关系，因此其值随着饱和程度的增加而减小。励磁阻抗远大于漏阻抗。	漏阻抗（绕组电阻和漏电抗）反映了漏磁通对变压器的影响，其影响主要体现在产生了一段压降$E_{1\sigma}$，其中绕组电阻$R_1/R_2$还反映了铜耗$p_{cu1}/p_{cu2}$。其值基本恒定不会变化。漏阻抗远小于励磁阻抗。
空载试验——$R_L\rightarrow\infty$，令非开路端$U=U_N$，记录非开路段空载电流$I_0$和损耗$p_0$，有：$R_m=\frac{p_0}{I_0^2};Z_m=\frac{U_N}{I_0}$	短路试验——$R_L\rightarrow0$，令非短路端$I=I_N$，记录非短路端短路电压$U_k$和损耗$p_k$，有：$R_k=\frac{p_k}{I_N^2};Z_k=\frac{U_k}{I_N}$
哪端不开路，参数归算到哪端	哪端不短路，参数归算到哪端

• 注：$R_k=R_1+R_2'=R_1+k^2R_2$，$Z$和$L$同理。

恒磁通、自跟随

这六个字的含义是从空载到负载时，电路中物理量的变化法则，在交流电机中也会用到。

• 恒磁通：可以认为$-\dot E_1\approx\dot U_1$，在输入电压不变的情况下，$\phi_m=\frac{E_1}{4.44fN}$应该保持不变，即主磁通恒定

  • 

• 自跟随：当主磁通不变时，合成磁动势$\dot F_m=\dot F_1+\dot F_2=\dot I_1N_1+\dot I_2N_2=\dot I_0N_1$也应该保持不变，那么在接入负载出现$I_2$时，$I_1$将会自动修正，即$\dot I_1=\dot I_0-\frac{N_2}{N_1}\dot I_2=\dot I_0-\frac{1}{k}\dot I_2$。其意义就是，变压器原副边通过磁动势平衡相关联，因此在副边电流变化的时候，原边会自动调节电流和输入功率以满足输出功率的要求。

  • 

工作特性

当变压器对外接通时，就像一个带小电阻的电压源，随着外电流的上升，输出电压缓慢下降，故$\Delta U=\frac{U_{2N}-U_2}{U_{2N}}\times100\%=1-U_2*$

变压器的效率随着外电流的增大先增加后减小，当不变损耗=可变损耗（$p_0=I_2^{*2}p_k$）时取到最大值

$$\begin{aligned} \Delta U=I_2^*(R_k^*\text{cos}\varphi_2+Z_k^*\text{sin}\varphi_2)\times100\%\\ \eta=(1-\frac{p_0+I_2^{*2}p_k}{I_2^*S_N\text{cos}\varphi_2+ p_0+I_2^{*2}p_k})\times100\% \end{aligned}$$

三相变压器

空载电势波形判断方法和原则：

• 当主磁通为正弦变化时，由于饱和的原因，励磁电流必须为尖顶波，可分解为正弦波+各次谐波分量
  1. 如果电流的谐波分量可以在副边流通，那么副边仍然会产生正弦磁通，可以运行
  2. 若不行，那么副边电流正弦，磁通将会变成平顶波，可分解为正弦波+各次谐波分量
  3. 如果磁通的谐波分量可以被消除，那么磁通仍表现为正弦形式，可以运行；否则无法运行
• Y型接法无法流通电流谐波分量，△型接法无法流通磁势谐波分量（实际上是去磁）
• 组式变压器不会去磁，而芯式变压器会去磁

结论：

$$\begin{aligned} 原边\begin{cases}Y&看副边\\Y_0/\Delta &√\end{cases}\rightarrow副边\begin{cases}Y/Y_0&看磁路\\\Delta&√ \end{cases}\rightarrow磁路\begin{cases}组式&×\\芯式&√ \end{cases} \end{aligned}$$

交流电机的一般理论

交流电机的物理量

电角度	槽距角	每极每相槽数	相带	极距
$机械角度\times P$	$\alpha=P\frac{360°}{Z_1}$	$q=\frac{Z_1}{m\cdot2P}$	$q\cdot \alpha$	$\tau=\frac{\pi D}{2P}=\frac{Z_1}{2P}$

连接法的几点注意事项：

1. 单层绕组（每个槽只放一层元件边）并联支路数最大为$\alpha_{max}=P$，双层绕组$\alpha_{max}=2P$。根据并联支路数选择串并联。
2. 单层绕组中，槽数=导体数=线圈数 * 2；双层绕组中，槽数=导体数 / 2=线圈数
3. 不管怎么连接，每一极最终都只会引出两条线：A/X，B/Y，C/Z
4. 叠绕组：先计算出$y_1$，且叠绕组$y=1$。从每个线圈组的第一条导体（上层边）开始，先右移$y_1$（下层边），然后左移$y_1-1$（上层边），共$2P=\frac{Z_1}{mq}$个线圈组。这样每个线圈组都会引出两条线，然后根据首连首、尾连尾的法则和并联支路数的要求，进行串并联。叠绕组的优点是可以节约用铜，能得到较多的并联支路数，但是连接困难。
5. 波绕组：先计算出$y_1$和$y_2$。波绕组把所有同级（N或S）下的导体全部串起来，根据并联支路数$a=1还是2$确定串并联。从每级的第一条导体（上层边）开始，先右移$y_1$（下层边），然后右移$y_2=y-y_1$（上层边），共2个线圈组（N一个，S一个）。当绕完一圈后，需要人为退一个槽。波绕组的短距不能节约用铜。

电动势与磁动势

	磁动势	电动势
整距线圈	$F=\frac{2\sqrt2}{\pi}I_cN_y$	$E_{c\nu}=\frac{\sqrt2}2\pi f\phi_{\nu}$	单根导体
线圈组（整距）	$k_{q\nu}=\frac{\text{sin}q\frac{\nu\alpha_1}2}{q\text{din}\frac{\nu\alpha_1}2}$（$\times q$）	$E_{t\nu}=2E_{c\nu}N_yk_{y\nu}$	单个线圈
双层短距修正	$k_{y\nu}=\text{sin}(\frac{\nu y_1}{\tau}90°)$	$\times2$是线圈有2根导体
一相绕组(脉振)	$F_{\varphi \nu}=0.9\frac{IN}p k_{w\nu}$	$k_{q\nu}$（$\times q$）	线圈组
三相绕组(旋转)	$F_{\nu}=\frac m2 F_{\varphi \nu}$	$ E_{\phi\nu}=4.44fN\phi k_{w\nu} $	一相绕组

• $I_c=\frac Ia$为线圈电流（$I$是相电流），$N_y$是线圈匝数
• 记：每相串联匝数：$N=\frac{2PqN_y}a(双层)=\frac{PqN_y}2(单层)$
• 最后的公式（一相脉振磁动势、三相旋转磁动势和一相绕组相电动势）直接记，都是根据上面一步步演化来的，主要推导的难点就是每相串联匝数的公式和单层、双层修正中是否需要乘2。

谐波的计算

​ 一般我们见到的就是同步谐波，这里讲一下同步谐波的特点和计算：

• 同步谐波跟着基波一起旋转，他是傅里叶变换里面出来的，因此在基波走完一个周期的时候同步谐波可以走$\nu$个周期。因此同步谐波的数据满足：
  1. 转速与基波转速相等：$n_{\nu}=n_1$
  2. 频率比基波频率要高：$f_{\nu}=\nu f_1$
  3. 极距比基波极距要小：$\tau_{\nu}=\frac{\tau}{\nu}$
  4. 级数比基波级数要大：$P_{\nu}=\nu P$
• 所以在计算同步谐波幅值的时候，需要对上面的公式做以下几点修正：
  1. 两个修正系数都要变，一个变成$\nu\alpha$，一个变成$\nu y_1$，可能出现负值
  2. 公式中的频率要进行修正成 $\nu f$
  3. 由于磁通 $\phi=B\tau l$，如果题中没有说明磁场的关系（$\frac{B_{\nu}}{B_1}$），就按照 $B_{\nu}=\frac1{\nu}B_1$ 的关系修正，否则按照题目的规定；同时修正极距 $\tau_{\nu}=\frac1{\nu}\tau$
  4. 因此在默认情况下且不考虑修正系数 $k_{w\nu}$，谐波的幅值是基波幅值的$\frac1{\nu}$

磁动势谐波的计算

• 上述对磁动势不适用，磁动势谐波的特点为：
  1. 频率与基波频率相等：$f_{\nu}=f_1$（即角频率）
  2. 转速比基波转速要小：$n_{\nu}=\frac1{\nu}n_1$（$n=\frac{60f}p$）
  3. 极距比基波极距要小：$\tau_{\nu}=\frac{\tau}{\nu}$
  4. 级数比基波级数要大：$P_{\nu}=\nu P$
• 所以在计算磁动势的谐波幅值的时候，需要对上面的公式做以下几点修正：
  1. 两个修正系数都要变，一个变成$\nu\alpha$，一个变成$\nu y_1$，可能出现负值
  2. 在默认情况下且不考虑修正系数 $k_{w\nu}$，谐波的幅值是基波幅值的$\frac1{\nu}$
  3. 写具体表达式的时候，由于电角度受极数的影响，故$\theta_{\nu}=\nu\theta$

削弱谐波的影响

1. 短距绕组：令$k_{y\nu}=\text{sin}(\frac{\nu y_1}{\tau}90°)=0\Rightarrow y_1=\frac{2k\tau}{\nu}$，由于$\nu$一定是奇数，因此想要消除$\nu$次谐波，就令$2k=\nu-1$

   注：可以同时消除次数相邻的两个谐波，如要消除$\nu=5/7$，则令$2k=6$

2. 分布绕组：令$k_{q\nu}=\frac{\text{sin}q\frac{\nu\alpha_1}2}{q\text{din}\frac{\nu\alpha_1}2}$减小，即增大极对数$q$，一般取$q\in[2,6]$

异步电机

工作原理

异步电机的参数定义及公式如下：

参数	符号	定义	表达式
同步速	$n_1$	旋转磁场（磁动势）的绝对转速	$n_1=\frac{60f}p$
转差率	$s$	转子转速与同步速之差的百分比	$s=\frac{n_1-n}{n_1}$
转子频率	$f_2$	转子绕组感应电动势的频率（切割）	$f_2=sf_1$
功率因数角	$\varPsi_2$	$\text{cos}\varPsi_2$为转子绕组的功率因数	$\text{cos}\varPsi_2=\frac{R_2'/s}{\sqrt{(R_2'/s)^2+X_{2\sigma}'^2}}$

关于异步电机的工作原理有以下几个特点需要说明：

1. 定子侧的三相电流产生了转速为同步速的旋转磁场（见上一节），由切割产生的电磁转矩带动转子，因此为了保持转差，一般电动机$n<n_1$但是十分接近，故$s\rightarrow 0$，一般认为$s_N\approx2-5\%$。当$s<0$时作发电机运行，$s>1$时作电磁制动运行。
2. 定子磁动势的转速是$n_1$，不论转子有无旋转，转子的磁动势一定与定子相对静止。
3. 仍然满足恒磁通，自跟随的原理（具体见上），即在空载到负载（或堵转到旋转）的变化中，主磁通不变，原边电流随着副边电流的变化而自动调节。

转子在堵转与转动的情况下，异步电机各参数的变化：

堵转	$n=0$	$\Delta n=n_1$	$f_2=f_1$	$E_2=4.44f_1N_2k_{w2}\phi_m$	$X_{2\sigma}=2\pi f_1L_{2\sigma}$	$\varPsi_2=\text{atan}\frac{X_{2\sigma}}{r_2}$
旋转	$n\rightarrow n_1$	$\Delta n=sn_1$	$f_2=sf_1$	$E_{2s}=sE_2$	$X_{2\sigma s}=sX_{2\sigma}$	$\varPsi_2=\text{atan}\frac{sX_{2\sigma }}{r_2}$

等效电路图

跟变压器类似，原边和副边两侧的物理量的特性都不尽相同，因此计算麻烦，故用频率折算+绕组折算来简化电路图。

• 频率折算：将转子频率$f_2$折算成定子频率$f_1$
  1. 阻抗全部变为$\frac1s$倍，即$r_2\rightarrow r_2+\frac{1-s}sr_2~;~X_{2\sigma s}\rightarrow X_{2\sigma}=2\pi f_1L_{2\sigma}$
• 绕组折算：类似于变压器的折算，电流电压倒数变化，阻抗为平方关系
  1. 记电流和电压的变比分别为：$k_i=\frac{m_1N_1k_{w1}}{m_2N_2k_{w2}}~;~k_e=\frac{N_1k_{w1}}{N_2k_{w2}}$
  2. 注意两者是不一样的，因为电流是从磁动势（$0.9\frac m2\frac{INk_w}{p}$）推出，电压是从电动势（$4.44fNk_w\phi_m$）推出。但是对于大部分电机，原副边的相数是一样的（三相电机），因此有$k_i=k_e$
  3. $I_2'=\frac1{k_i}I_2~;~E_2'=k_eE_2~;~Z_2'=k_ik_eZ_2$

得到的等效电路图如下：

$T$型等效电路	$\tau$型等效电路

根据小学二年级学的基尔霍夫，我们可以很容易的写出电路关系：（可以看到跟变压器的电路是非常像的）

1. $\dot U_1=-\dot E_1+\dot I_1(R_1+jX_{1\sigma})$
2. $\dot E_1=\dot E_2'=\dot I_2'(R_2'+jX_{2\sigma}'+\frac{1-s}sR_2')$
3. $\dot E_1=\dot E_2'=\dot I_m(R_m+jX_m)$
4. $\dot I_m=\dot I_1+(-\dot I_2’)$

运行特性

功率与转矩平衡

关于电机的功率关系式，只需要记住下面这一张图即可：

下面给出各个功率的物理表达式：

$P_1=m_1U_{1\varphi}I_{1\varphi}\text{cos}\varphi_1$	$p_{cu1}=m_1I_{1\varphi}^2R_1$	$p_{Fe}=m_1I_{m}^2R_m$	$p_{cu2}=m_1I_2’^2R_2’$	$p_{mec}=m_1I_2’^2\frac{1-s}sR_2’$

电磁转矩是最重要的转矩，下面给出它的4种表达式：

1. $T_{em}=\frac{P_{mec}}{\Omega}=\frac{P_{mec}}{(1-s)\Omega_1}=\frac{P_{em}}{\Omega_1}$
2. $T_{em}=\frac{m_1E_2'I_2'\text{cos}\varPsi_2}{\Omega_1} =\frac{m_1\sqrt2\pi f_1N_1k_{w1}\phi_1I_2'\text{cos}\varPsi_2}{2\pi f_1/p}=C_M\phi_1I_2'\text{cos}\varPsi_2$
   1. 其中$C_M=(pm_1N_1k_{w1})/\sqrt2$为常数
   2. 这个公式跟直流电机的电磁转矩公式很像，只是多了一个功率因数角（直流电机恒为1）
3. $T_{em}=\frac{m_1pU_1^2\frac{R_2'}s}{2\pi f_1[(R_1+\frac{R_2'}s)^2+(X_{1\sigma}+X_{2\sigma})^2]}$
4. $T_{em}=\frac2{\frac s{s_m}+\frac{s_m}s}T_m\approx \frac{2T_m}{s_m}s$，工程上的近似算法，一般会给出$K_M$和$s_N$两者

于是我们就可以画出他的机械特性如下：

1. A点（同步运行点/空载点）
   1. $s=0,n=n_1$
2. B点（最大转矩点）
   1. $s_m\approx \frac{R_2'}{X_{1\sigma}+X_{2\sigma}'}$
   2. $T_m=\frac{m_1pU_1^2}{4\pi f(R_1+X_{1\sigma}+X_{2\sigma}')}$
3. C点（起动点）
   1. $s=1,n=0$
   2. $T_{st}=\frac{m_1pU_1^2R_2'}{2\pi f_1[(R_1+R_2')^2+(X_{1\sigma}+X_{2\sigma}')^2]}$
4. 记：
   1. $k_{st}=\frac{T_{st}}{T_N}$
   2. $k_M=\frac{T_m}{T_N}$

工作特性

他的工作特性跟变压器还是比较像的，所以就直接贴图吧

1. 计算效率时，可变损耗为$p_{cu1,cu2}$，不变损耗为$p_{Fe,ad,mec}$，同样可变损耗=不变损耗时，取到效率的最大值
2. 转速随着输出功率的上升略有下降，转差率跟转速互补
3. 电磁转矩$T_{em}=T_0+\frac P{\Omega}$，近似有截距的一次函数，但是由于转速的下降，转矩曲线略微上翘

起动

一般要求电机起动的时候具有较大的转矩$T_{st}$和较小的起动电流$I_{st}$

鼠笼式异步电机起动：

	定子串电抗	自耦变压器	$Y-\Delta$起动
原理	定子上串联电抗$X$分压	通过变压器降低定子端电压	先用$Y$起动，之后改为$\Delta$运行
电压	$\frac1k$	$\frac1k$	$\frac1{\sqrt3}$
电流	$\frac1k$	$\frac1{k^2}$	$\frac13$
转矩	$\frac1{k^2}$	$\frac1{k^2}$	$\frac13$

• 均能够降低起动电流，但是都会以损失启动转矩作为代价，后两者的效果更好。
• $Y-\Delta$起动相当于变压器变比为$\sqrt3$的自耦变压器起动。
• 起动电流$I_{st}$指的是电网提供的三相线电流

绕线式异步电机起动：

不论是转子串电阻起动还是频敏电阻器起动，都是类似的，与直流电机电枢回路串电阻起动相似：分级起动，逐渐切除/减小电阻，固有特性逐渐变硬，电流不会超过限制。

调速

原理：由$n=(1-s)\frac{60f}p$，改变$s,f,p$均可完成电机的调速。

对于$P_{em}=P_{mec}+p_{cu2}=(1-s)P_{em}+sP_{em}$，调速的本质就是调节机械功率，因此可以通过对电磁功率$P_{em}$的调节（变频调速），或对转差功率$sP_{em}$的调节（调压、串电阻调速）完成。

$$T_{em}=\frac{m_1pU_1^2\frac{R_2'}s}{2\pi f_1[(R_1+\frac{R_2'}s)^2+(X_{1\sigma}+X_{2\sigma})^2]}~;~s_m\approx \frac{R_2'}{X_{1\sigma}+X_{2\sigma}'}~;~T_m=\frac{m_1pU_1^2}{4\pi f(R_1+X_{1\sigma}+X_{2\sigma}')}$$

	变频调速—基频下调	变频调速—基频上调	调压调速	转子串电阻调速
要求	$\frac{U_1}f=\text{const}$	$U_1=\text{const}$
参数	$T_{m}\approx \text{const}~,~s_m↑$	$P_2\approx\text{const}~,~T_m↓~,~s_m↑$	$s_m=\text{const}~,~T_m↓$	$s_m↑~,~T_m=\text{const}$
曲线	整体向下平移	往左上方缩以保持$P_2$不变	整体往左边压缩	特性变软，曲率往下掉
特点	适用于恒转矩负载	适用于恒功率负载	对恒$T,P$负载调速范围小$(0,s_m)$ 适用于通风机负载$(T_Z=kn^2)$	一般用于恒转矩负载
求解	$f=\frac{np}{60}$ 平移→$\Delta n$不变		$T_m$与$U^2$成正比，故 $U'=\sqrt{\frac{T_m'}{T_m}}U_N$	$\frac{r_2}s=\frac{r_2+R_{\Omega}}{s'}$ 因$s$与$s_m$成正比，可换成$s_m$和$s_m'$

在解题的时候，多使用经验公式（适用于同一条曲线上的两点）：

$$\frac{T_{em}}{T_m}=\frac{2K_M}{\frac s{s_m}+\frac{s_m}s}\approx\frac{2K_M}{s_m}\cdot s ~;~\frac{T_a}{T_b}=\frac{s_a}{s_b}$$

制动

分类	回馈制动(s<0)		能耗制动	反接制动(s>1)
	反转向(IV)	发电机制动(II)		正接反转(IV)	正转反接(II)
实现	定子电源反相序，并反向起动	电车下坡冲过n1，或变频/变极降低n1	定子脱网通直流励磁，使产生静止磁场	转子回路串大电阻	定子电源反相序（需限流电阻）
特点	n>n1（同向），适用于位能型负载高速下放	n>n1（同向），常见于电车下坡或变频变极调速	快速停机或位能负载低速下放	Tm大小不变，机械特性极度变软。适用于位能型负载	Tm大小不变，机械特性与原点对称后变软
能量关系	电磁功率反向，向电网发出有功，吸收无功来建立磁场		转子动能转化成电能全部消耗于转子电阻中	转子处于能量双馈状态
例题	无	无	无	定负载下，下放转速与串接电阻的关系	初始时刻制动转矩与串接电阻的关系
计算方法	无	无	无	先算S和Sm，带入串电阻调速的公式	先算S'(≈2)，带T和S的经验公式，有2解

同步电机

结构与运行原理

同步电机结构

​ 同步电机与直流电机正好相反，定子是电枢，转子是励磁，具有较高且可调的功率因数，也可以发出无功。定转子二者产生的磁场相对静止（均以同步速$n=\frac{60f}p$旋转），并且保证气隙合成磁场恒定（这也是机电能量转换的必要条件）。两磁场之间的相位差决定了电磁转矩$T_{em}$的方向，由此决定的电机的运行状态：

$$\begin{aligned}\begin{cases}定子：&旋转磁场（电枢磁场）&相位超前时~T_{em}>0&电动机\\转子：&直流励磁（主极、机械磁场）&相位超前时~T_{em}<0&发电机\\&&注：空载时~T_{em}=0&调相机 \end{cases}\end{aligned}$$

​ 同步电机主要用作发电机（与异步电机主要用作电动机相反），其分类如下：

$$\begin{aligned}\begin{cases}隐极式：&汽轮发电机&转子大小齿结构，约\frac23开槽&适合高速旋转\\凸极式：&水轮发电机&有可辅助起动抑制震荡的阻尼绕组&低转速 \end{cases} \end{aligned}$$

电枢反应

​ 在空载运行时，同步电机的电动势就是$E_0=-\omega \frac{\text d\phi}{\text dt}=\sqrt2\pi fNk\phi_0$，是一个大小仅与励磁电流$I_f$挂钩、相位滞后$\phi_0$90°的量，其特性曲线也就是磁化曲线。与直流电机类似，电枢反应的意思就是接入负载后，电枢产生的磁场影响空载磁场，将气隙合成磁场改变。

​ 电枢反应仍然可以被分解为交轴和直轴。交轴分量产生电磁转矩，直轴分量引起去磁或增磁（一般而言是前者）。下方图片中几个物理量的关系是：$F_{f1}$与$\phi_0$基本近似为同向，$E_0$落后90°，定子电流$I$落后$E_0$内功率因数角$\psi$，定子磁场$F_a$与$I$同向。

​ 为了下面两小节理解方便，这里定义四个角度：

$$\begin{aligned}\begin{cases}内功率因数角：&\psi=(\dot E_0\wedge\dot I)&\psi=\varphi+\theta\\功率因数角：&\varphi=(\dot U\wedge\dot I)\\功率角（功角）：&\theta=(\dot E_0\wedge\dot U)\\内功率角：&\theta_i=(\dot E_0\wedge\dot E_{\delta}) \end{cases} \end{aligned}$$

隐极与凸极的负载运行

​ 根据做题感受，同步电机的等效电路图是“最不重要”的，更重要的是矢量图。因为涉及到大量的角度，需要画矢量图，用几何的方法图解电动势的关系。

	隐极	凸极
矢量图
等效电路
特点	用两个电抗来等效电枢反映压降$\dot E_a$和漏抗压降$\dot E_{\sigma}$，同步电抗$X_t=X_a+X_{\sigma}$同时反应了电枢反应和漏磁通的影响	将$\dot F_a$分解为$\dot F_{ad}+\dot F_{aq}$，分别用$X_{ad}>X_{aq}$和$\dot I_d,\dot I_q$反映。并把漏抗$X_{\sigma}$分到交直轴同步电抗中去
饱和影响	此时不能把$E_a/E_0$从$E_{\delta}$中区分出来 故$\dot E_{\delta}=\dot U+\dot I(R_a+jX_{\sigma})$	交轴气隙较大，认为不受饱和影响 改变$\dot E_d$，有$\dot E_d+\dot E_{aq}=\dot E_{\delta}$
注	计算中$F_a$是正弦波 空载特性中$F_a$是方波	$\dot E_Q$与$\dot E_0$同向，先算$\dot E_Q$ $E_Q=E_0-I_d(X_d-X_q)$

工作特性

短路特性

​ 在短路时，电压比较小因此磁化曲线一定不饱和，故满足$E_0\propto I_f$且$I_k=\frac{E_0}{X_t}$，故$I_k\propto I_f$，因此短路特性呈一条直线。同时观察短路特性和空载特性，可以得到短路比定义和公式如下：

$$K_c=\frac{I_{k0}(I_{f0}\rightarrow U_N)}{I_N}=\frac{I_{f0}(U=U_N)}{I_{fk}(I_k=I_N)}=K_{\mu}\frac1{X_d^*}~;~(K_{\mu}>1,是饱和系数)$$

零功率因数负载特性

​ 类似于直流发电机的负载特性，为了克服直轴去磁磁动势和漏抗压降，往右下方偏移了一部分。

外特性与调整特性

​ 一般而言电机是感性的，因此即使外电路接纯电阻负载，随着电流的增大，端电压也会减小。接感性负载时端电压下降更加厉害，接容性负载可以抑制端电压的下降，甚至使之上升。

同步电机的并网运行

​ 同步电机并网之后，电机的输出端电压将会与电网电压完全一致，也就是发电机电压的相序、波形、频率、大小和相位与电网必须保持一致。

并网连接——三相灯指示

	暗灯法（直连）	旋灯法	调节方法
等频率	三盏灯明度不再变化	灯光不再旋转闪烁（或旋转很慢）	调节发电机转速n
等电压（大小+相位）	三盏灯同时熄灭	灯光1熄灭，2/3亮度相同	调节发电机电压大小 发电机瞬时速度（相位）

• **自同步法：**励磁绕组不通电接限流电阻，，用原动机拖动直至接近同步转速，先并网然后迅速接通励磁（不要限流电阻）

平衡方程与功角特性

• 电磁功率的表达式如下：

$$\begin{aligned} P_{em}=P_2(mUI\text{cos}\varphi)+p_{cu2}(mI^2R_a\approx0)\Rightarrow P_{em}\approx P_2\\P_{em}=\frac{mE_0U}{X_d}\text{sin}\theta+\frac{mU^2}2(\frac1{X_q}-\frac1{X_d})\text{sin}2\theta\\P_{em}=mE_0I_q \end{aligned}$$

有功调节与静态稳定

​ 从上文的表达式可以看出来，在并网之后有功功率仅与空载电动势$E_0$和功率角$\theta$有关。这就是所谓的“功角特性”——有功功率的大小与功率角紧密关联，而功率角反映的就是交轴电枢反应的影响，是转子主极轴线与气隙合成磁场轴线之间的相差。

• **自跟随：**为了增加有功，需调大输入功率（力矩），转子瞬间加速使励磁电动势$\dot E_0$超前电网电压$\dot U$，增大功率角$\theta$，因此$I_q$增加、电磁制动转矩$T_{em}$增加，重新稳定。

• **静态稳定：**由于$P_{em}\propto \text{sin}\theta$，随着功率角的增大输出功率先增加后减小。只有在$\theta\in[0,90°]$的范围内才能稳定。

• Def：

  • 比整步功率$P_{syn}=\frac{\text dP_{em}}{\text d\theta}=\frac{mE_0U}{X_d}\text{cos}\theta$
  • 过载能力$K_m=\frac{P_{max}}{P_N}=\frac1{\text{sin}\theta_N}$

无功调节与V型曲线

​ 在调节无功功率时，需要保持有功功率不变，即$E_0\text{sin}\theta=\text{const}$，$I_q=I\text{cos}\varphi=\text{const}$。认为$\text{cos}\varphi=1$，即$I=I_{min}$时的状态叫做“正常励磁”，此时不输出无功。

• 恒磁通：
  • 并网时$U=\text{const}$，因此$E_{\delta}\approx U=\text{const}$，因此气隙合成磁通不会变化
• 自跟随：
  • 当励磁增加，励磁磁动势增加时，电枢反应输出滞后的电流（感性无功），使之去磁
  • 当励磁减小，励磁磁动势降低时，电枢反应输出超前的电流（容性无功），使之增磁
    • 欠励的励磁电流不能过小，否则功角将超过90°进入不稳定区，电枢电流的增磁效应不足以补偿主磁通，产生不了足够的电磁转矩拖住转子，电机失步。