电机学笔记（总）
- 整理了PDF版本，内容跟下面差别不大，好处是可以打印而且不会出现渲染问题
- 为了防止电机学课程总结作业的查重（那啥x），老版本带了一点点水印，应该不影响阅读
- 电机学笔记(Watermark)
- 电机学笔记
- 字太多了，难免有打错的，大家见谅（找到问题跟我说一句谢谢）
导论与数理基础
| 势能 | 场强 | 流 | 介质 | 阻 | 欧姆定律 | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 电 | 电动势\(U=\oint E\text dl\) | 电场强度E | 电流I | \(\varepsilon\) | \(R=\frac{\rho l}A\) | \(i=\frac u R\) |
| 磁 | 磁动势\(F=\oint H\text dl\) | 磁场强度H | 磁通\(\phi\) | \(\frac1{\mu}\) | \(R_m=\frac l{\mu A}\) | \(\phi=\frac F{R_m}\) |
全电流定律
\[ \oint H\text dl=\Sigma i=Ni \]基尔霍夫定律
\[ \begin{gather*} 对任意节点（封闭曲面），流之和为0：&\Sigma\phi=0\\对任意回路，势之和为0：&\Sigma F=\Sigma Ni=\Sigma Hl=\Sigma \phi R_m \end{gather*} \]电磁感应定律
\[ e=-\frac{\partial\Psi}{\partial t}=-N\frac{\text d\phi}{\text dt} \]
直流电机
基本结构
\[ \begin{gather*} \begin{cases} 静止部分：定子 \begin{cases} 机座：支撑、构成磁极间的磁通回路\\ 主磁极：产生气隙磁场 \begin{cases} 励磁绕组：用于产生励磁磁场 \\ 主磁极铁芯 \end{cases} \\电刷装置：将电枢绕组和外电路联通\\ 换向极：改善两换向器间Gap性能 \end{cases} \\ \\ 转子（电枢） \begin{cases} 电枢铁芯：用来放电枢绕组，由硅钢片叠成\\ 电枢绕组：机电能量转换，绕成定性线圈嵌在电枢铁芯内\\换向器 \end{cases} \end{cases} \end{gather*} \]
注：电枢和励磁究竟谁是定子谁是转子，依据不同的情况来看。直流电机中以上述为主，同步电机中则相反（即电枢变成了定子）。
- 额定功率\(P_N\)
- 发电机输出电功率：\(P=EI=2Blv\cdot I=2BIlv\)
- 电动机输出机械功率：\(P=T\cdot\Omega=2F\cdot\frac D2\cdot\frac{2\pi n}{60}=2BIlv\)
电枢绕组
每一匝绕组元件\(i\)始于一个换向片\(i\)，然后其上元件边通过槽\(i\)，下元件边通过槽\(j\)，最终另一个端口终于另一个换向片\(k\)。一个换向片连着两个绕组元件，一个始，一个终。可以看到，一个绕组元件我们用了三个量来表示，因此一个绕组元件的三个特征值就是\(i,j,k\)。
对于叠绕组，一定有\(k=i+1\)，波绕组则是\(k>j>i\)。在绕组连接表中，一根实线+一根虚线代表了一个绕组元件，其三个端点正好对应着上文的三个值：起始片&上元件边\(i\),下元件边\(j\),终止片\(k\)。
\[ 元件数S=虚槽数Z_u=换向片数K \]
- Def：主磁极极对数：P（P对，2P个）
- 在这里，“槽数”变相的成为了一种单位。
| 参数 | 叠绕组 | 波绕组 |
|---|---|---|
| 极距\(\tau\)：一个主磁极跨度所占据的槽数 | \(\tau=\frac{Z_u}{2P} =\frac K{2P}\) | \(\tau=\frac{Z_u}{2P} =\frac K{2P}\) |
| 换向器节距\(y_k\)=合成节距\(y=y_1+y_2\) | \(y=\pm1\) | \(y=\frac{K-1}P\) |
| 第一节距\(y_1\)：同一线圈上下元件边跨过槽数 | \(y_1=\lfloor\tau\rfloor\) | \(y_1=\lfloor\tau\rfloor\) |
| 第二节距\(y_2\)：上一线圈下层边 - 下一线圈上层边 | \(y_2=y-y_1\) | \(y_2=y-y_1\) |
| 电刷数（相当于截断） | 2P | 理论2，实际2P |
| 并联支路数 | 2P个，P对 每一级构成一条支路 | 2个 同一极性(N/S)一条支路 |
- 两者唯一有区别的就是合成节距的算法，其他的都一样。
直流电机磁场
直流电机一共有两个磁场，一个是定子通电提供的定子励磁磁场，一个是转子的电枢磁场。励磁磁场相对简单，会在空间中产生励磁磁动势\(F_f\)（起主要作用）；电枢磁场会在空间中产生电枢磁场磁动势\(F_a\)，对励磁磁场产生影响；两者叠加产生气隙磁场（带载磁场）。
励磁磁场\(F_f\)
分类：
- 他励：励磁绕组和电枢绕组用不同的独立电源供电
- 并励：励磁绕组和电枢绕组并联供电
- 串励：励磁绕组和电枢绕组串联供电
- 复励：有两个励磁绕组，并+串；积复励/差复励
磁场特点：
在空载时，电枢电流\(I_a=0\)，不产生磁场。因此空载时直流电机的磁场分布，就是励磁磁场。
励磁磁场由主磁极的主磁通产生，因为存在严重的饱和，因此在主磁极覆盖范围内均水平，在气隙处迅速下降。
总磁动势计算：\(F_0=\oint H\text dl=2I_fN_f\)，若忽略漏磁通，则\(F_0=2F_f\,\,;\,\,F_f=I_fN_f\)。
电枢磁场\(F_a\)
电枢是转子，电枢磁场由电枢绕组上的导体通入的电流产生，而导体均匀分布导致电流近似均匀分布，因此电枢磁场磁动势大小随着坐标\(x\)线性增大。直到通过换向片处电流反向，此时磁动势大小线性减小。
(a) 电刷放置在几何中心线上:
磁动势计算：\(F_a={\sum i}=\frac{x}{\pi D_a}Ni_a=\frac{Ni_a}{\pi D_a}x\)，并定义电枢表面线负荷\(A\triangleq \frac{Ni_a}{\pi D_a}\)
气隙电枢磁密：\(B_{ax}=\mu_0\frac{F}{\delta'}\)，先线性增大，超出主磁极范围接近换向片后，由于气隙的急剧增大而急剧减小。
(b) 电刷不在几何中心线上:
- 在实际中，由于误差导致电刷偏离了中心线一个小角度\(\beta\)，即长度\(b_{\beta}=\frac D2\beta\)。
- 将磁场分解（实际上是将环绕了电枢一圈的电枢电流分解）为交轴磁场和直轴磁场。
- 交轴磁动势：与原电枢磁动势很像，以原电刷位置对称（几何中心线），但是三角波的尖头被削平。
- 直轴磁动势：与原励磁磁动势很像，以主磁极位置对称，方向相同或者相反。
电枢反应
电枢反应实际上就是指两个磁场叠加，合起来对电机的工作产生影响。不难看出，两个磁场都是静止的：励磁磁场静止是因为定子本来就静止，可以直接看做是不动的永磁体；电枢磁场静止是因为，即使电枢导体的电流在随着转子转动经过换向器不断改变方向，但是宏观上磁场一直以换向器为中心对称。
由于励磁磁场沿主磁极轴对称，而电枢磁场沿换向片对称，主磁极与电刷正好相差90°电角度（电刷塞在两磁极中的空隙里），因此一般呈现交轴电枢反应（建议与同步电机一起看）：
- 两者相位差90°，电枢磁场使励磁磁场产生畸变
- 交轴反应理论不改变总磁通大小，但是由于饱和，增磁处难以增磁，因此磁通一般而言还是会减小
- 直轴电枢反应由电刷偏离几何中心线引起，表现为增磁或去磁
- 电枢反应的影响一般在题目中会用额外励磁电流 \(I_{faq}\) 等效，表示为了“抗衡”电枢反应，需要额外提供的励磁
感应电动势&电磁转矩
\[ \begin{gather*} E_a=\frac{NP}{60a}\cdot\phi \cdot n\\T=\frac{NP}{2\pi a}\cdot\phi\cdot I_a \end{gather*} \]
直流电机模型与特性曲线
| 发电机 | 电动机 | |
|---|---|---|
| 模型 |  |  |
| 电压 | \(E_a=U+I_aR_a+2\Delta U_b\) | \(U=E_a+I_a(R_a+R_{aj})\) |
| \(U=I_f(R_f+R_j)\) | \(U=I_f(R_f+R_j)\) | |
| 电流 | \(I_a=I+I_f\) | \(I=I_a+I_f\) |
| 转矩 | \(T_1=T_{em}+T_0\) | \(T_{em}=T_2+T_0\) |
| 功率 |  |  |
[注]：在并励发电机功率中也有\(p_{cuf}\)的铜耗，这里没标注
| 发电机 | 电动机 | |
|---|---|---|
| 负载特性 |  |  |
| 特点 | 对发电机而言，电枢反应的影响等效为额外的励磁电流\(I_{faq}\)，并且由于\(I_aR_a\)电流—端电压”表或曲线时，需要使用\(I_{f0}=I_{fN}-I_{faq}\)！复励中串联的磁动势需要折算：\(\frac{I_sN_s}{N_f}\) | 其实没啥好说的，这图应该见过比较多次的。需要注意的就是 \(\eta=(1-\frac {\sum p}{P_1})\times 100\%\)，在可变损耗\(I_a^2R_a\)=不变损耗\(p_0\)时取到效率最大值 |
| 外特性 |  |  |
| 特点 | 对于并励发电机，除了上图的\(U_0=f(I_f)\)外还需要满足\(U_0=I_f(R_f+R_j)\)，两者的交点即为空载端电压。因此其自励是需要满足剩磁+励磁电阻大小合适两个条件（当然接法要正确） | 方程：\(n=\frac{U-I_aR_a}{C_e\phi}=\frac{U}{C_e\phi}-\frac{R_a}{C_eC_T\phi^2}T_{em}\)。这条最基础的方程就揭示了三个调速方法：调压（向下平移）、串阻（向下倾斜）、弱磁（向上平移+向下倾斜） |
电动机的调节
\[ n=\frac{U-I_aR_a}{C_e\phi}=\frac{U}{C_e\phi}-\frac{R_a}{C_eC_T\phi^2}T_{em} \]
起动
起动的要求是具有足够小的电流\(I_{st}\)与足够大的启动转矩\(T_{st}\)。由电动机的机械特性（即上表中的外特性），可以得到：
| 降压起动 | 串电阻起动 | |
|---|---|---|
| 起动电流 | \(I_{st}=\frac{U'}{R_a}\) | \(I_{st}=\frac{U_N}{R_a+R_{aj}}\) |
| 起动转矩 | \(T_{st}=\frac{U'C_T\phi}{R_a}\) | \(T_{st}=\frac{U_NC_T\phi}{R_a+R_{aj}}\) |
调速
| 调压调速 | 串电阻调速 | 弱磁调速 | |
|---|---|---|---|
| 特点 | 只能降转速，特性曲线一样硬 | 只能降转速，特性曲线变软，耗能，轻载时不明显 | 只能增转速，用于恒转矩负载时\(I_a=\frac{T}{C_T\phi}\)变高，适用于恒功率负载 |
制动
| 分类 | 反接制动 | 能耗制动 | 回馈制动 | ||
|---|---|---|---|---|---|
| 电压反向(II) | 电动势反向(IV) | 电压反向(IV) | 电压不反向(II) | ||
| 实现 | 电枢电压UN反向并串限流电阻 | 串一个极大的电阻Raj | 断开电源并串限流电阻Raj | 电压反向的反接制动，n=0不停机，Tem=0时切除电阻使匀速下放 | 电车下坡时具有同向转矩，转速冲过y轴 |
| 特点 | 快速停机，需要在n=0时手动停机 | 特性曲线极软，适用于位能型负载 | 恒转矩负载：自动停机 位能型负载：反向起动 | 位能型负载的匀速下放 | 电车下坡 |
| 能流方向 | 电源给电机供能，同系统动能一起消耗在电阻上 | 电源断开无输入，动能消耗在电阻上 | 匀速下放阶段将势能转成电能回给电网 | 能量回馈制动状态 | |
变压器
等效电路与物理量
| T型等效 | \(\tau\)型等效 |
|---|---|
 |  |
根据小学二年级学的基尔霍夫，我们可以很容易的写出电路关系：（物理量的等效关系不再赘述，反正就是\(k\)或者\(k^2\)倍）
- \(E_1=\sqrt2\pi fN\phi_m\)
- \(\dot U_1=(-\dot E_1)+\dot I_1(R_1+jX_{1\sigma})\approx-\dot E_1\)
- \(\dot U_2'=\dot E_2'-\dot I_2'(R_2'+jX_{2\sigma}')\)
- \(\dot I_m=\dot I_1-(-\dot I_2)\)
- \(\dot E_1=\dot E_2'=-\dot I_m(R_m+jX_m)\)
- \(\dot U_2'=\dot I_2'Z_L'\)
| 励磁参数\((R_m+jX_m)\) | 绕组电阻、漏电抗\((R_1+jX_{1\sigma})\) |
|---|---|
| 励磁参数反映了主磁通对变压器的影响，其中励磁电阻反映铁耗\(p_{Fe}\)，励磁电抗反映电磁效应。因为其反映磁通关系，因此其值随着饱和程度的增加而减小。励磁阻抗远大于漏阻抗。 | 漏阻抗（绕组电阻和漏电抗）反映了漏磁通对变压器的影响，其影响主要体现在产生了一段压降\(E_{1\sigma}\)，其中绕组电阻\(R_1/R_2\)还反映了铜耗\(p_{cu1}/p_{cu2}\)。其值基本恒定不会变化。漏阻抗远小于励磁阻抗。 |
| 空载试验——\(R_L\rightarrow\infty\)，令非开路端\(U=U_N\)，记录非开路段空载电流\(I_0\)和损耗\(p_0\)，有：\(R_m=\frac{p_0}{I_0^2};Z_m=\frac{U_N}{I_0}\) | 短路试验——\(R_L\rightarrow0\)，令非短路端\(I=I_N\)，记录非短路端短路电压\(U_k\)和损耗\(p_k\)，有：\(R_k=\frac{p_k}{I_N^2};Z_k=\frac{U_k}{I_N}\) |
| 哪端不开路，参数归算到哪端 | 哪端不短路，参数归算到哪端 |
- 注：\(R_k=R_1+R_2'=R_1+k^2R_2\)，\(Z\)和\(L\)同理。
恒磁通、自跟随
这六个字的含义是从空载到负载时，电路中物理量的变化法则，在交流电机中也会用到。
- 恒磁通：可以认为\(-\dot E_1\approx\dot U_1\)，在输入电压不变的情况下，\(\phi_m=\frac{E_1}{4.44fN}\)应该保持不变，即主磁通恒定
- 自跟随：当主磁通不变时，合成磁动势\(\dot F_m=\dot F_1+\dot F_2=\dot I_1N_1+\dot I_2N_2=\dot I_0N_1\)也应该保持不变，那么在接入负载出现\(I_2\)时，\(I_1\)将会自动修正，即\(\dot I_1=\dot I_0-\frac{N_2}{N_1}\dot I_2=\dot I_0-\frac{1}{k}\dot I_2\)。其意义就是，变压器原副边通过磁动势平衡相关联，因此在副边电流变化的时候，原边会自动调节电流和输入功率以满足输出功率的要求。
工作特性
当变压器对外接通时，就像一个带小电阻的电压源，随着外电流的上升，输出电压缓慢下降，故\(\Delta U=\frac{U_{2N}-U_2}{U_{2N}}\times100\%=1-U_2*\)
变压器的效率随着外电流的增大先增加后减小，当不变损耗=可变损耗（\(p_0=I_2^{*2}p_k\)）时取到最大值
\[ \begin{gather*} \Delta U=I_2^*(R_k^*\text{cos}\varphi_2+Z_k^*\text{sin}\varphi_2)\times100\%\\ \eta=(1-\frac{p_0+I_2^{*2}p_k}{I_2^*S_N\text{cos}\varphi_2+ p_0+I_2^{*2}p_k})\times100\% \end{gather*} \]
三相变压器
空载电势波形判断方法和原则：
- 当主磁通为正弦变化时，由于饱和的原因，励磁电流必须为尖顶波，可分解为正弦波+各次谐波分量
- 如果电流的谐波分量可以在副边流通，那么副边仍然会产生正弦磁通，可以运行
- 若不行，那么副边电流正弦，磁通将会变成平顶波，可分解为正弦波+各次谐波分量
- 如果磁通的谐波分量可以被消除，那么磁通仍表现为正弦形式，可以运行；否则无法运行
- Y型接法无法流通电流谐波分量，△型接法无法流通磁势谐波分量（实际上是去磁）
- 组式变压器不会去磁，而芯式变压器会去磁
结论：
\[ \begin{gather*} 原边\begin{cases}Y&看副边\\Y_0/\Delta &√\end{cases}\rightarrow副边\begin{cases}Y/Y_0&看磁路\\\Delta&√ \end{cases}\rightarrow磁路\begin{cases}组式&×\\芯式&√ \end{cases} \end{gather*} \]
交流电机的一般理论
交流电机的物理量
| 电角度 | 槽距角 | 每极每相槽数 | 相带 | 极距 |
|---|---|---|---|---|
| \(机械角度\times P\) | \(\alpha=P\frac{360°}{Z_1}\) | \(q=\frac{Z_1}{m\cdot2P}\) | \(q\cdot \alpha\) | \(\tau=\frac{\pi D}{2P}=\frac{Z_1}{2P}\) |
连接法的几点注意事项：
- 单层绕组（每个槽只放一层元件边）并联支路数最大为\(\alpha_{max}=P\)，双层绕组\(\alpha_{max}=2P\)。根据并联支路数选择串并联。
- 单层绕组中，槽数=导体数=线圈数 * 2；双层绕组中，槽数=导体数 / 2=线圈数
- 不管怎么连接，每一极最终都只会引出两条线：A/X，B/Y，C/Z
- 叠绕组：先计算出\(y_1\)，且叠绕组\(y=1\)。从每个线圈组的第一条导体（上层边）开始，先右移\(y_1\)（下层边），然后左移\(y_1-1\)（上层边），共\(2P=\frac{Z_1}{mq}\)个线圈组。这样每个线圈组都会引出两条线，然后根据首连首、尾连尾的法则和并联支路数的要求，进行串并联。叠绕组的优点是可以节约用铜，能得到较多的并联支路数，但是连接困难。
- 波绕组：先计算出\(y_1\)和\(y_2\)。波绕组把所有同级（N或S）下的导体全部串起来，根据并联支路数\(a=1还是2\)确定串并联。从每级的第一条导体（上层边）开始，先右移\(y_1\)（下层边），然后右移\(y_2=y-y_1\)（上层边），共2个线圈组（N一个，S一个）。当绕完一圈后，需要人为退一个槽。波绕组的短距不能节约用铜。
电动势与磁动势
| 磁动势 | 电动势 | ||
|---|---|---|---|
| 整距线圈 | \(F=\frac{2\sqrt2}{\pi}I_cN_y\) | \(E_{c\nu}=\frac{\sqrt2}2\pi f\phi_{\nu}\) | 单根导体 |
| 线圈组（整距） | \(k_{q\nu}=\frac{\text{sin}q\frac{\nu\alpha_1}2}{q\text{din}\frac{\nu\alpha_1}2}\)（\(\times q\)） | \(E_{t\nu}=2E_{c\nu}N_yk_{y\nu}\) | 单个线圈 |
| 双层短距修正 | \(k_{y\nu}=\text{sin}(\frac{\nu y_1}{\tau}90°)\) | \(\times2\)是线圈有2根导体 | |
| 一相绕组(脉振) | \(F_{\varphi \nu}=0.9\frac{IN}p k_{w\nu}\) | \(k_{q\nu}\)（\(\times q\)） | 线圈组 |
| 三相绕组(旋转) | \(F_{\nu}=\frac m2 F_{\varphi \nu}\) | $ E_{}=4.44fNk_{w} $ | 一相绕组 |
- \(I_c=\frac Ia\)为线圈电流（\(I\)是相电流），\(N_y\)是线圈匝数
- 记：每相串联匝数：\(N=\frac{2PqN_y}a(双层)=\frac{PqN_y}2(单层)\)
- 最后的公式（一相脉振磁动势、三相旋转磁动势和一相绕组相电动势）直接记，都是根据上面一步步演化来的，主要推导的难点就是每相串联匝数的公式和单层、双层修正中是否需要乘2。
谐波的计算
一般我们见到的就是同步谐波，这里讲一下同步谐波的特点和计算：
- 同步谐波跟着基波一起旋转，他是傅里叶变换里面出来的，因此在基波走完一个周期的时候同步谐波可以走\(\nu\)个周期。因此同步谐波的数据满足：
- 转速与基波转速相等：\(n_{\nu}=n_1\)
- 频率比基波频率要高：\(f_{\nu}=\nu f_1\)
- 极距比基波极距要小：\(\tau_{\nu}=\frac{\tau}{\nu}\)
- 级数比基波级数要大：\(P_{\nu}=\nu P\)
- 所以在计算同步谐波幅值的时候，需要对上面的公式做以下几点修正：
- 两个修正系数都要变，一个变成\(\nu\alpha\)，一个变成\(\nu y_1\)，可能出现负值
- 公式中的频率要进行修正成 \(\nu f\)
- 由于磁通 \(\phi=B\tau l\)，如果题中没有说明磁场的关系（\(\frac{B_{\nu}}{B_1}\)），就按照 \(B_{\nu}=\frac1{\nu}B_1\) 的关系修正，否则按照题目的规定；同时修正极距 \(\tau_{\nu}=\frac1{\nu}\tau\)
- 因此在默认情况下且不考虑修正系数 \(k_{w\nu}\)，谐波的幅值是基波幅值的\(\frac1{\nu}\)
磁动势谐波的计算
- 上述对磁动势不适用，磁动势谐波的特点为：
- 频率与基波频率相等：\(f_{\nu}=f_1\)（即角频率）
- 转速比基波转速要小：\(n_{\nu}=\frac1{\nu}n_1\)（\(n=\frac{60f}p\)）
- 极距比基波极距要小：\(\tau_{\nu}=\frac{\tau}{\nu}\)
- 级数比基波级数要大：\(P_{\nu}=\nu P\)
- 所以在计算磁动势的谐波幅值的时候，需要对上面的公式做以下几点修正：
- 两个修正系数都要变，一个变成\(\nu\alpha\)，一个变成\(\nu y_1\)，可能出现负值
- 在默认情况下且不考虑修正系数 \(k_{w\nu}\)，谐波的幅值是基波幅值的\(\frac1{\nu}\)
- 写具体表达式的时候，由于电角度受极数的影响，故\(\theta_{\nu}=\nu\theta\)
削弱谐波的影响
短距绕组：令\(k_{y\nu}=\text{sin}(\frac{\nu y_1}{\tau}90°)=0\Rightarrow y_1=\frac{2k\tau}{\nu}\)，由于\(\nu\)一定是奇数，因此想要消除\(\nu\)次谐波，就令\(2k=\nu-1\)
注：可以同时消除次数相邻的两个谐波，如要消除\(\nu=5/7\)，则令\(2k=6\)
分布绕组：令\(k_{q\nu}=\frac{\text{sin}q\frac{\nu\alpha_1}2}{q\text{din}\frac{\nu\alpha_1}2}\)减小，即增大极对数\(q\)，一般取\(q\in[2,6]\)
异步电机
工作原理
异步电机的参数定义及公式如下：
| 参数 | 符号 | 定义 | 表达式 |
|---|---|---|---|
| 同步速 | \(n_1\) | 旋转磁场（磁动势）的绝对转速 | \(n_1=\frac{60f}p\) |
| 转差率 | \(s\) | 转子转速与同步速之差的百分比 | \(s=\frac{n_1-n}{n_1}\) |
| 转子频率 | \(f_2\) | 转子绕组感应电动势的频率（切割） | \(f_2=sf_1\) |
| 功率因数角 | \(\varPsi_2\) | \(\text{cos}\varPsi_2\)为转子绕组的功率因数 | \(\text{cos}\varPsi_2=\frac{R_2'/s}{\sqrt{(R_2'/s)^2+X_{2\sigma}'^2}}\) |
关于异步电机的工作原理有以下几个特点需要说明：
- 定子侧的三相电流产生了转速为同步速的旋转磁场（见上一节），由切割产生的电磁转矩带动转子，因此为了保持转差，一般电动机\(n<n_1\)但是十分接近，故\(s\rightarrow 0\)，一般认为\(s_N\approx2-5\%\)。当\(s<0\)时作发电机运行，\(s>1\)时作电磁制动运行。
- 定子磁动势的转速是\(n_1\)，不论转子有无旋转，转子的磁动势一定与定子相对静止。
- 仍然满足恒磁通，自跟随的原理（具体见上），即在空载到负载（或堵转到旋转）的变化中，主磁通不变，原边电流随着副边电流的变化而自动调节。
转子在堵转与转动的情况下，异步电机各参数的变化：
| 堵转 | \(n=0\) | \(\Delta n=n_1\) | \(f_2=f_1\) | \(E_2=4.44f_1N_2k_{w2}\phi_m\) | \(X_{2\sigma}=2\pi f_1L_{2\sigma}\) | \(\varPsi_2=\text{atan}\frac{X_{2\sigma}}{r_2}\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 旋转 | \(n\rightarrow n_1\) | \(\Delta n=sn_1\) | \(f_2=sf_1\) | \(E_{2s}=sE_2\) | \(X_{2\sigma s}=sX_{2\sigma}\) | \(\varPsi_2=\text{atan}\frac{sX_{2\sigma }}{r_2}\) |
等效电路图
跟变压器类似，原边和副边两侧的物理量的特性都不尽相同，因此计算麻烦，故用频率折算+绕组折算来简化电路图。
- 频率折算：将转子频率\(f_2\)折算成定子频率\(f_1\)
- 阻抗全部变为\(\frac1s\)倍，即\(r_2\rightarrow r_2+\frac{1-s}sr_2~;~X_{2\sigma s}\rightarrow X_{2\sigma}=2\pi f_1L_{2\sigma}\)
- 绕组折算：类似于变压器的折算，电流电压倒数变化，阻抗为平方关系
- 记电流和电压的变比分别为：\(k_i=\frac{m_1N_1k_{w1}}{m_2N_2k_{w2}}~;~k_e=\frac{N_1k_{w1}}{N_2k_{w2}}\)
- 注意两者是不一样的，因为电流是从磁动势（\(0.9\frac m2\frac{INk_w}{p}\)）推出，电压是从电动势（\(4.44fNk_w\phi_m\)）推出。但是对于大部分电机，原副边的相数是一样的（三相电机），因此有\(k_i=k_e\)
- \(I_2'=\frac1{k_i}I_2~;~E_2'=k_eE_2~;~Z_2'=k_ik_eZ_2\)
得到的等效电路图如下：
| \(T\)型等效电路 | \(\tau\)型等效电路 |
|---|---|
 |  |
根据小学二年级学的基尔霍夫，我们可以很容易的写出电路关系：（可以看到跟变压器的电路是非常像的）
- \(\dot U_1=-\dot E_1+\dot I_1(R_1+jX_{1\sigma})\)
- \(\dot E_1=\dot E_2'=\dot I_2'(R_2'+jX_{2\sigma}'+\frac{1-s}sR_2')\)
- \(\dot E_1=\dot E_2'=\dot I_m(R_m+jX_m)\)
- \(\dot I_m=\dot I_1+(-\dot I_2’)\)
运行特性
功率与转矩平衡
关于电机的功率关系式，只需要记住下面这一张图即可：
下面给出各个功率的物理表达式：
| \(P_1=m_1U_{1\varphi}I_{1\varphi}\text{cos}\varphi_1\) | \(p_{cu1}=m_1I_{1\varphi}^2R_1\) | \(p_{Fe}=m_1I_{m}^2R_m\) | \(p_{cu2}=m_1I_2’^2R_2’\) | \(p_{mec}=m_1I_2’^2\frac{1-s}sR_2’\) |
|---|
电磁转矩是最重要的转矩，下面给出它的4种表达式：
- \(T_{em}=\frac{P_{mec}}{\Omega}=\frac{P_{mec}}{(1-s)\Omega_1}=\frac{P_{em}}{\Omega_1}\)
- \(T_{em}=\frac{m_1E_2'I_2'\text{cos}\varPsi_2}{\Omega_1} =\frac{m_1\sqrt2\pi f_1N_1k_{w1}\phi_1I_2'\text{cos}\varPsi_2}{2\pi f_1/p}=C_M\phi_1I_2'\text{cos}\varPsi_2\)
- 其中\(C_M=(pm_1N_1k_{w1})/\sqrt2\)为常数
- 这个公式跟直流电机的电磁转矩公式很像，只是多了一个功率因数角（直流电机恒为1）
- \(T_{em}=\frac{m_1pU_1^2\frac{R_2'}s}{2\pi f_1[(R_1+\frac{R_2'}s)^2+(X_{1\sigma}+X_{2\sigma})^2]}\)
- \(T_{em}=\frac2{\frac s{s_m}+\frac{s_m}s}T_m\approx \frac{2T_m}{s_m}s\)，工程上的近似算法，一般会给出\(K_M\)和\(s_N\)两者
于是我们就可以画出他的机械特性如下：
- A点（同步运行点/空载点）
- \(s=0,n=n_1\)
- B点（最大转矩点）
- \(s_m\approx \frac{R_2'}{X_{1\sigma}+X_{2\sigma}'}\)
- \(T_m=\frac{m_1pU_1^2}{4\pi f(R_1+X_{1\sigma}+X_{2\sigma}')}\)
- C点（起动点）
- \(s=1,n=0\)
- \(T_{st}=\frac{m_1pU_1^2R_2'}{2\pi f_1[(R_1+R_2')^2+(X_{1\sigma}+X_{2\sigma}')^2]}\)
- 记：
- \(k_{st}=\frac{T_{st}}{T_N}\)
- \(k_M=\frac{T_m}{T_N}\)
工作特性
他的工作特性跟变压器还是比较像的，所以就直接贴图吧
- 计算效率时，可变损耗为\(p_{cu1,cu2}\)，不变损耗为\(p_{Fe,ad,mec}\)，同样可变损耗=不变损耗时，取到效率的最大值
- 转速随着输出功率的上升略有下降，转差率跟转速互补
- 电磁转矩\(T_{em}=T_0+\frac P{\Omega}\)，近似有截距的一次函数，但是由于转速的下降，转矩曲线略微上翘
起动
一般要求电机起动的时候具有较大的转矩\(T_{st}\)和较小的起动电流\(I_{st}\)
鼠笼式异步电机起动：
| 定子串电抗 | 自耦变压器 | \(Y-\Delta\)起动 | |
|---|---|---|---|
| 原理 | 定子上串联电抗\(X\)分压 | 通过变压器降低定子端电压 | 先用\(Y\)起动，之后改为\(\Delta\)运行 |
| 电压 | \(\frac1k\) | \(\frac1k\) | \(\frac1{\sqrt3}\) |
| 电流 | \(\frac1k\) | \(\frac1{k^2}\) | \(\frac13\) |
| 转矩 | \(\frac1{k^2}\) | \(\frac1{k^2}\) | \(\frac13\) |
- 均能够降低起动电流，但是都会以损失启动转矩作为代价，后两者的效果更好。
- \(Y-\Delta\)起动相当于变压器变比为\(\sqrt3\)的自耦变压器起动。
- 起动电流\(I_{st}\)指的是电网提供的三相线电流
绕线式异步电机起动：
不论是转子串电阻起动还是频敏电阻器起动，都是类似的，与直流电机电枢回路串电阻起动相似：分级起动，逐渐切除/减小电阻，固有特性逐渐变硬，电流不会超过限制。
调速
原理：由\(n=(1-s)\frac{60f}p\)，改变\(s,f,p\)均可完成电机的调速。
对于\(P_{em}=P_{mec}+p_{cu2}=(1-s)P_{em}+sP_{em}\)，调速的本质就是调节机械功率，因此可以通过对电磁功率\(P_{em}\)的调节（变频调速），或对转差功率\(sP_{em}\)的调节（调压、串电阻调速）完成。
\[ T_{em}=\frac{m_1pU_1^2\frac{R_2'}s}{2\pi f_1[(R_1+\frac{R_2'}s)^2+(X_{1\sigma}+X_{2\sigma})^2]}~;~s_m\approx \frac{R_2'}{X_{1\sigma}+X_{2\sigma}'}~;~T_m=\frac{m_1pU_1^2}{4\pi f(R_1+X_{1\sigma}+X_{2\sigma}')} \]
| 变频调速—基频下调 | 变频调速—基频上调 | 调压调速 | 转子串电阻调速 | |
|---|---|---|---|---|
| 要求 | \(\frac{U_1}f=\text{const}\) | \(U_1=\text{const}\) | ||
| 参数 | \(T_{m}\approx \text{const}~,~s_m↑\) | \(P_2\approx\text{const}~,~T_m↓~,~s_m↑\) | \(s_m=\text{const}~,~T_m↓\) | \(s_m↑~,~T_m=\text{const}\) |
| 曲线 | 整体向下平移 | 往左上方缩以保持\(P_2\)不变 | 整体往左边压缩 | 特性变软，曲率往下掉 |
| 特点 | 适用于恒转矩负载 | 适用于恒功率负载 | 对恒\(T,P\)负载调速范围小\((0,s_m)\) 适用于通风机负载\((T_Z=kn^2)\) | 一般用于恒转矩负载 |
| 求解 | \(f=\frac{np}{60}\) 平移→\(\Delta n\)不变 | \(T_m\)与\(U^2\)成正比，故 \(U'=\sqrt{\frac{T_m'}{T_m}}U_N\) | \(\frac{r_2}s=\frac{r_2+R_{\Omega}}{s'}\) 因\(s\)与\(s_m\)成正比，可换成\(s_m\)和\(s_m'\) |
在解题的时候，多使用经验公式（适用于同一条曲线上的两点）：
\[ \frac{T_{em}}{T_m}=\frac{2K_M}{\frac s{s_m}+\frac{s_m}s}\approx\frac{2K_M}{s_m}\cdot s ~;~\frac{T_a}{T_b}=\frac{s_a}{s_b} \]
制动
| 分类 | 回馈制动(s<0) | 能耗制动 | 反接制动(s>1) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| 反转向(IV) | 发电机制动(II) | 正接反转(IV) | 正转反接(II) | ||
| 实现 | 定子电源反相序，并反向起动 | 电车下坡冲过n1，或变频/变极降低n1 | 定子脱网通直流励磁，使产生静止磁场 | 转子回路串大电阻 | 定子电源反相序（需限流电阻） |
| 特点 | n>n1（同向），适用于位能型负载高速下放 | n>n1（同向），常见于电车下坡或变频变极调速 | 快速停机或位能负载低速下放 | Tm大小不变，机械特性极度变软。适用于位能型负载 | Tm大小不变，机械特性与原点对称后变软 |
| 能量关系 | 电磁功率反向，向电网发出有功，吸收无功来建立磁场 | 转子动能转化成电能全部消耗于转子电阻中 | 转子处于能量双馈状态 | ||
| 例题 | 无 | 无 | 无 | 定负载下，下放转速与串接电阻的关系 | 初始时刻制动转矩与串接电阻的关系 |
| 计算方法 | 无 | 无 | 无 | 先算S和Sm，带入串电阻调速的公式 | 先算S'(≈2)，带T和S的经验公式，有2解 |
同步电机
结构与运行原理
同步电机结构
同步电机与直流电机正好相反，定子是电枢，转子是励磁，具有较高且可调的功率因数，也可以发出无功。定转子二者产生的磁场相对静止（均以同步速\(n=\frac{60f}p\)旋转），并且保证气隙合成磁场恒定（这也是机电能量转换的必要条件）。两磁场之间的相位差决定了电磁转矩\(T_{em}\)的方向，由此决定的电机的运行状态：
\[ \begin{gather*}\begin{cases}定子：&旋转磁场（电枢磁场）&相位超前时~T_{em}>0&电动机\\转子：&直流励磁（主极、机械磁场）&相位超前时~T_{em}<0&发电机\\&&注：空载时~T_{em}=0&调相机 \end{cases}\end{gather*} \]
同步电机主要用作发电机（与异步电机主要用作电动机相反），其分类如下：
\[ \begin{gather*}\begin{cases}隐极式：&汽轮发电机&转子大小齿结构，约\frac23开槽&适合高速旋转\\凸极式：&水轮发电机&有可辅助起动抑制震荡的阻尼绕组&低转速 \end{cases} \end{gather*} \]
电枢反应
在空载运行时，同步电机的电动势就是\(E_0=-\omega \frac{\text d\phi}{\text dt}=\sqrt2\pi fNk\phi_0\)，是一个大小仅与励磁电流\(I_f\)挂钩、**相位滞后$_0$90°**的量，其特性曲线也就是磁化曲线。与直流电机类似，电枢反应的意思就是接入负载后，电枢产生的磁场影响空载磁场，将气隙合成磁场改变。
电枢反应仍然可以被分解为交轴和直轴。交轴分量产生电磁转矩，直轴分量引起去磁或增磁（一般而言是前者）。下方图片中几个物理量的关系是：\(F_{f1}\)与\(\phi_0\)基本近似为同向，\(E_0\)落后90°，定子电流\(I\)落后\(E_0\)内功率因数角\(\psi\)，定子磁场\(F_a\)与\(I\)同向。
为了下面两小节理解方便，这里定义四个角度：
\[ \begin{gather*}\begin{cases}内功率因数角：&\psi=(\dot E_0\wedge\dot I)&\psi=\varphi+\theta\\功率因数角：&\varphi=(\dot U\wedge\dot I)\\功率角（功角）：&\theta=(\dot E_0\wedge\dot U)\\内功率角：&\theta_i=(\dot E_0\wedge\dot E_{\delta}) \end{cases} \end{gather*} \]
隐极与凸极的负载运行
根据做题感受，同步电机的等效电路图是“最不重要”的，更重要的是矢量图。因为涉及到大量的角度，需要画矢量图，用几何的方法图解电动势的关系。
| 隐极 | 凸极 | |
|---|---|---|
| 矢量图 |  |  |
| 等效电路 |  |  |
| 特点 | 用两个电抗来等效电枢反映压降\(\dot E_a\)和漏抗压降\(\dot E_{\sigma}\)，同步电抗\(X_t=X_a+X_{\sigma}\)同时反应了电枢反应和漏磁通的影响 | 将\(\dot F_a\)分解为\(\dot F_{ad}+\dot F_{aq}\)，分别用\(X_{ad}>X_{aq}\)和\(\dot I_d,\dot I_q\)反映。并把漏抗\(X_{\sigma}\)分到交直轴同步电抗中去 |
| 饱和影响 | 此时不能把\(E_a/E_0\)从\(E_{\delta}\)中区分出来 故\(\dot E_{\delta}=\dot U+\dot I(R_a+jX_{\sigma})\) | 交轴气隙较大，认为不受饱和影响 改变\(\dot E_d\)，有\(\dot E_d+\dot E_{aq}=\dot E_{\delta}\) |
| 注 | 计算中\(F_a\)是正弦波 空载特性中\(F_a\)是方波 | \(\dot E_Q\)与\(\dot E_0\)同向，先算\(\dot E_Q\) \(E_Q=E_0-I_d(X_d-X_q)\) |
工作特性
短路特性
在短路时，电压比较小因此磁化曲线一定不饱和，故满足\(E_0\propto I_f\)且\(I_k=\frac{E_0}{X_t}\)，故\(I_k\propto I_f\)，因此短路特性呈一条直线。同时观察短路特性和空载特性，可以得到短路比定义和公式如下：
\[ K_c=\frac{I_{k0}(I_{f0}\rightarrow U_N)}{I_N}=\frac{I_{f0}(U=U_N)}{I_{fk}(I_k=I_N)}=K_{\mu}\frac1{X_d^*}~;~(K_{\mu}>1,是饱和系数) \]
零功率因数负载特性
类似于直流发电机的负载特性，为了克服直轴去磁磁动势和漏抗压降，往右下方偏移了一部分。
外特性与调整特性
一般而言电机是感性的，因此即使外电路接纯电阻负载，随着电流的增大，端电压也会减小。接感性负载时端电压下降更加厉害，接容性负载可以抑制端电压的下降，甚至使之上升。
同步电机的并网运行
同步电机并网之后，电机的输出端电压将会与电网电压完全一致，也就是发电机电压的相序、波形、频率、大小和相位与电网必须保持一致。
并网连接——三相灯指示
| 暗灯法（直连） | 旋灯法 | 调节方法 | |
|---|---|---|---|
| 等频率 | 三盏灯明度不再变化 | 灯光不再旋转闪烁（或旋转很慢） | 调节发电机转速n |
| 等电压（大小+相位） | 三盏灯同时熄灭 | 灯光1熄灭，2/3亮度相同 | 调节发电机电压大小 发电机瞬时速度（相位） |
- 自同步法：励磁绕组不通电接限流电阻，，用原动机拖动直至接近同步转速，先并网然后迅速接通励磁（不要限流电阻）
平衡方程与功角特性
- 电磁功率的表达式如下：
\[ \begin{gather*} P_{em}=P_2(mUI\text{cos}\varphi)+p_{cu2}(mI^2R_a\approx0)\Rightarrow P_{em}\approx P_2\\P_{em}=\frac{mE_0U}{X_d}\text{sin}\theta+\frac{mU^2}2(\frac1{X_q}-\frac1{X_d})\text{sin}2\theta\\P_{em}=mE_0I_q \end{gather*} \]
有功调节与静态稳定
从上文的表达式可以看出来，在并网之后有功功率仅与空载电动势\(E_0\)和功率角\(\theta\)有关。这就是所谓的“功角特性”——有功功率的大小与功率角紧密关联，而功率角反映的就是交轴电枢反应的影响，是转子主极轴线与气隙合成磁场轴线之间的相差。
自跟随：为了增加有功，需调大输入功率（力矩），转子瞬间加速使励磁电动势\(\dot E_0\)超前电网电压\(\dot U\)，增大功率角\(\theta\)，因此\(I_q\)增加、电磁制动转矩\(T_{em}\)增加，重新稳定。
静态稳定：由于\(P_{em}\propto \text{sin}\theta\)，随着功率角的增大输出功率先增加后减小。只有在\(\theta\in[0,90°]\)的范围内才能稳定。
Def：
- 比整步功率\(P_{syn}=\frac{\text dP_{em}}{\text d\theta}=\frac{mE_0U}{X_d}\text{cos}\theta\)
- 过载能力\(K_m=\frac{P_{max}}{P_N}=\frac1{\text{sin}\theta_N}\)
无功调节与V型曲线
在调节无功功率时，需要保持有功功率不变，即\(E_0\text{sin}\theta=\text{const}\)，\(I_q=I\text{cos}\varphi=\text{const}\)。认为\(\text{cos}\varphi=1\)，即\(I=I_{min}\)时的状态叫做“正常励磁”，此时不输出无功。
- 恒磁通：
- 并网时\(U=\text{const}\)，因此\(E_{\delta}\approx U=\text{const}\)，因此气隙合成磁通不会变化
- 自跟随：
- 当励磁增加，励磁磁动势增加时，电枢反应输出滞后的电流（感性无功），使之去磁
- 当励磁减小，励磁磁动势降低时，电枢反应输出超前的电流（容性无功），使之增磁
- 欠励的励磁电流不能过小，否则功角将超过90°进入不稳定区，电枢电流的增磁效应不足以补偿主磁通，产生不了足够的电磁转矩拖住转子，电机失步。
