电力系统稳态分析笔记
一、碎碎念
- 下文中公式出现$$等形式就是没渲染好，最好开翻墙…因为确实有点卡
- 整理了PDF版本，内容跟下面差别不大，好处是可以打印而且不会出现渲染问题
- 推荐一个98的老前辈的帖子，整理的很全也有一份样卷：
- 【学习天地】电力系统稳态分析知识点整理 样卷 https://www.cc98.org/topic/4901089 复制本链接，打开【CC98】微信小程序，直接查看本帖！
- 第一章自己看书
二、电力系统元件数学模型
三相电力线路
电路参数
在集总参数模型中，我们可以用四个量来表示电路，即L,R,C,G。
- 分裂导线：
- 每相导线的分裂导线的根数：n
- 三相导线几何间距：$Dm =\sqrt[3]{D{12}D{23}D{13}}$；分裂导线内部导线等值半径：$r{eq} =\sqrt[n]{rd{12}d{13}\cdots d{1n}}$
电感：
- 架空线路正序电感：$x_1=2\pi fL_1=0.06283\text{ln}\frac{D_m}r+0.0157\,(\Omega/km)$
- 分裂导线正序电感：$x1 =2\pi fL_1=0.06283\text{ln}\frac{D_m}{r{eq}}+\frac{0.0157}n\,(\Omega/km)$
电纳：
- 架空线路正序电纳：$b_1=2\pi fC_1=\frac{17.45}{\text{ln}\frac{D_m}r}\times10^{-6}(s/km)$
- 分裂导线正序电纳：$b1=2\pi fC_1=\frac{17.45}{\text{ln}\frac{D_m}{ r {eq}} }\times10^{-6}(s/km)$
电晕临界电压：$U_{cr}\propto r\text{lg}\frac{D_m}r$
等值电路
基本知识：
单位长度等值阻抗：$Z_1=r_1+jx_1$
单位长度等值导纳：$Y_1=g_1+jb_1$
波阻抗（特性阻抗）：$Z_c=\sqrt{Z_1/Y_1}\,(\Omega)$；传播系数：$\gamma=\sqrt{Z_1Y_1}=\alpha+j\beta$
当电路达成匹配（$Z_c=Z_2$）和无损耗（$g_1=r_1=0$）时，有：
结论：
变压器
双绕组变压器
根据变压器内部的量值大小关系，简化双绕组变压器的电路图如下图所示：
也就是说，我们需要求出R,X,G~m~,B~m~四个量。下面给出变压器的基本参数和求解方法。
变压器参数：哪些东西是我们事先知道的
- 变压器四个额定值：输入$U {1N},I{1N}$，输出$U{2N},I {2N}$
- 变压器额定容量：$SN=\sqrt3U {1N}I{1N}=\sqrt3U {2N}I_ {2N}$
- 原理：输出有功功率跟电感、电容大小无关，因此通过这个可以知道电阻、电导的大小；已知电阻、电导远小于电抗、电纳，因此电压降基本只和电抗、电纳有关，通过求电压降得到电感、电容大小。
短路实验求R,X：
- 输出端短路$U2=0$，使左边达到额定电流$I{1N}$，记下此时的电压$U_{k}$和输出功率$P_k$
- $R=\frac{P k}{3I{1N}^2}=\frac{Pk}{1000}\frac{U{1N}^2}{S _ {N}^2}\,(\Omega)$
- $X=\frac{U k}{\sqrt3I {1N}}=Uk\frac{U {1N}}{S N}=(\frac{U _k}{U{1N}})\frac{U {1N}^2}{S _N}=\frac{U_k\%}{100}\frac{U {1N}^2}{S _N}(\Omega)$
开路实验求G,B：
- 输出端断路$I2=0$，使左边达到额定电压$U{1N}$，记下此时的电流$I_0$和输出功率$P_0$
- $G m=\frac{P 0}{U _{1N}^2}\times 10^{-3}(s)$
- $B m=\frac{\sqrt3I_0}{U {1N}}=(\frac{I 0}{I {1N}})\frac{S N}{U {1N}^2}=\frac{Ik\%}{100}\frac{S _N}{U {1N}^2}(s)$（一定要取负号！这个B~m~只是大小，感纳为负）
三绕组变压器
三绕组变压器的公式与双绕组完全一样，但是多了两步。
P和U的必要归算：
- 因为三绕组每次短路只能选两个端口，因此有三个电压和损耗功率，并且是由两条支路的数据平分。
- 电压（$U_k%$）写法一模一样。
因为额定容量不同导致的归算：
- 以100/50/100为例，仅有1-3侧能达到额定容量，剩下两个都只有一般的额定电压。因此要将$U$乘上2，$P$乘上4。
G和B：
- 不需要上面这么麻烦的算，直接整就好。见课本例题。
最大短路损耗：
- 有些厂家只提供了P~kmax~，那么就把这个当成容量最大的两个支路一起提供的损耗。然后电阻按照容量大小反向分配，即100/100/50就是两个100的电阻等大平分，50那组的电阻值大小就是100的两倍。比如：$R1=R_2=\frac12\frac{P{kmax}}{1000}\frac{U_{1N}^2}{S_N^2}\,;\,R_3=2R_1$
自耦变压器
- 变比：$k {12}=\frac{U {1N}}{U_ {2N}}=1+\frac{\omega _s}{\omega _c}$
- 效益系数：$k b=\frac{I {com}}{I2}=1-\frac1{k {12}}$
- 通过磁耦合传递的最大功率（标准容量、设计容量）：$S_{st}=K_bS_N$
- 其用铜量、短路损耗都是普通变压器的$K_b$倍，其等值电路与普通变压器相同。
- 三相自耦变压器，公共绕组不过载的条件：$S {com}=\sqrt{(K _bP_1+P _3)^2+(K _bQ_1+Q _3)^2}<K b S _N$
- 三侧不过载条件：$S_i<\eta S_N$（$\eta=\frac{容量}{最大容量}$）
同步发电机和调相机
同步发电机
参数：
| 定子空载相电势 | 每相绕组电阻 | 定子纵轴、横轴同步电抗 | 功率角（$U$和$E_q$的夹角） |
|---|---|---|---|
| $E_q$或$jE_q$ | $r$ | $x_d,x_q$ | $\delta$（注意和功率因数角区分！） |
| 参数 | 隐极发电机$(x_d=x_q)$ | 凸极发电机 |
|---|---|---|
| 电压 | $U=jE_q-(r+jx_q)I$ | $U=jE_q-j(x_d-x_q)I_d-(r+jx_q)I$ |
| 有功 | $P=\frac{E_qU}{x_d}\text{sin}\delta$ | 爬 |
| 无功 | 爬 | 爬 |
- 其中，r，x~d~，x~q~可能会提供标么值、两种形式的百分值等。其转换如下（都一样的，以r为例）：
- $r=r_*\frac{U_N^2}{S_N}=\frac{r%}{100}\frac{U_N^2}{S_N}$
无功补偿设备
| 调相机 | 并联电容 | 并联电抗 | 静止补偿器 | |||
|---|---|---|---|---|---|---|
| 电压方程 | $U=E_q-jx_dI$ | |||||
| 无功功率 | $Q=UI=\frac{U(E_q-U)}{x_d}$ | $Q=U^2B_C$ | $Q= | U^2B_L | $ | $Q=Q_C+Q_L=U^2(\frac1{x_C}-\frac1{x_L})$ |
多级电力系统
方法：设定基本级——用实际变比归算到基本级——解归算后的网络——解耦至原级
标幺值
| 三相功率 | 线电压 | 阻抗 | 导纳 | 电流 |
|---|---|---|---|---|
| 基准值$S_B$ | 基准值$U_B$ | $Z_B=\frac{U_B^2}{S_B}$ | $Y_B=\frac{S_B}{U_B^2}$ | $I_B=\frac{\sqrt3S_B}{U_B}$ |
- 方法：将基本级的基准值归算到各级（实际上只用归算U），然后用这个U和S~B~来计算各级的阻抗、导纳。
非标准变比
用变压器标准变比来归算（从基本级到各级），代价是把变压器的$\tau$型等值电路变成了$\pi$型，要复杂一点
书里的图片不好，不应该用k，容易引起误导，应该用$k^$（从1到2是$1:k^$，注意顺序）
三、电力系统潮流计算
手算公式
电力线路
| $\Delta U$ | $\delta U$ | $\frac B2$损耗S(等于Q) | $Z$上损耗S(P+jQ) |
|---|---|---|---|
| $\frac{PR+QX}{U_j}$ | $\frac{PX-QR}{U_j}$ | $-jU_i^2\frac B2$和$-jU_j^2\frac B2$ | $\frac{P_j^2+Q_j^2}{U_j^2}(R+jX)$ |
- 一些简化：一般而言X远大于R，$\Delta U$对电压的影响远大于$\delta U$
| 电压降落 | 电压损耗 | 电压偏移 | 电压调整 | 输电效率 |
|---|---|---|---|---|
| $\Delta U+j\delta U$ | $\frac{U_1-U_2}{U_N}\times100\%$ | $\frac{U_{1/2}-U_N}{U_N}\times100\%$ | $\frac{U{20}-U_2}{U{20}}\times100\%$ | $\frac{P_2}{P_1}\times100\%$ |
变压器
- $\Delta P=\frac{P^2+Q^2}{U_j^2}R_T+U_i^2G_T$
- $\Delta Q=\frac{P^2+Q^2}{U_j^2}X_T+U_i^2B_T$
手算潮流
辐射型网络：功率推算过去，电压推算回来
两端供电网：
- 环形供电网：
- 单电压级：任一点解环，用两端供电网求解，dU=0
- 多电压级：阻抗端解环，$\text dU=U_A(\frac1{k_1}-\frac1{k_2})$
电算潮流
数理基础推导
- 节点电压方程（原方程）：$\dot Ii=\sum_j y{ij}(\dot U_i-\dot U_j)$
节点导纳矩阵：$Y=[y{ij}]$，其中$Y{ij}=-y{ij}\,;\,Y{ii}=\sum{j=0} y{ij}$
- 得：$\dot Ii=\sum{j=1}Y_{ij}\dot U_j$，$\dot I=Y\dot U$
对地支路导纳只影响$y_{ii}$，变压器节点要注意使用非标准变比的变压器$\pi$型等值电路等效，注意$1:k^*$的方向
功率方程：$\widetilde Si=P_i+jQ_i=\dot U_i I^*=\dot U_i\sum{j=1}Y_{ij}^U_j^$
G-S计算法
- 公式推导：
[注]：PV节点也需要列写上面的电压修正方程，但是最后只修正相角不修正电压幅值。
N-R计算法
N-R方程：$y=f’(x_0)(x-x_0)+f(x_0)=0\Rightarrow x =x_0-\frac{f(x_0)}{f’(x_0)}$
理论依据：$Pi+jQ_i=\dot U_i\sum{j=1}Y_{ij}^U_j^$
- 直角坐标形式：
要把PV节点的方程换成：$f{Ui}=U{is}-e^2-f^2$
P-Q分解法
好处：用一个n-1和一个n-m-1阶的方程组代替2(n-1)-m阶的方程组
其中，$B’$是去掉平衡节点的节点导纳矩阵（的虚部），$B’’$是去掉平衡节点和PV节点的节点导纳矩阵（的虚部），$U$是对角矩阵
直流潮流法
四、有功与频率调整
- 基本方程：
- $\frac{T_j}{\omega}\cdot\frac{\text d\omega}{\text dt}=P_T-P_E$
- $发电机发电P_G=线路网损P_L+负载损耗P_D$
频率调节效应系数（单位调节功率）
负荷：
- $P_D=a_0P+a_1P(\frac{f}{f_e})+\dots+a_nP(\frac f{f_e})^{n-1}$，负载消耗有功与频率同向变化，小范围内近似为直线
- $KD=\frac{\Delta P_D}{\Delta f}=\sum ia_i$，为曲线斜率，$K{D*}=\frac{\Delta P_D/P_N}{\Delta f/f_N}$
发电机：
- 发电机输出有功与频率反向变化，近似为直线
- $KG=-\frac{\Delta P_G}{\Delta f}$，为曲线斜率的负数（绝对值），$K{G*}=\frac{\Delta P_G/P_N}{\Delta f/f_N}$
整个电力系统：
- $KS=K_G+K_D$（三个都是正数，建议使用有名值而非标幺值）$K=K*\frac{P_N}{f_N}$
一次与二次调频
一次调频：调速器。二次调频：调频器。
- 一次调频：$\Delta P_D=(K_G+K_D)\Delta f’=K_S\Delta f’$，即$f_0’=f_0-\frac{\Delta P_D}{K_S}$（这里的$P_D$就是上图中的$P_L$，表示负荷而非网损）
二次调频：$\Delta P_D-\Delta P_G=K_S\Delta f’’$，即$f_0’’=f_0-\frac{\Delta P_D-\Delta P_G}{K_S}$
联合调频：就是相当于变成了一个系统，调节系数和功率消耗都相加——$\Delta f=\frac{\Delta P_a+\Delta P_b}{K_a+K_b}$
- $\Delta P_{ab}=\frac{K_a\Delta P_b-K_b\Delta P_a}{K_a+K_b}$
有功的经济分配
- 等微增率原则：（目标：$minF$）
- 先计算，后验算。若有$P{Gi}>P{Gi\,max}$则取其为最大值，对剩下的系统再次用等微增率原则进行分配。最小值同理。
五、无功与电压调整
变压器调压
遇到这种问题不要急也不用硬背公式，先画电路图再写电压方程，慢慢转化，把k换成额定变比，记住我们最终要求的量是1侧的额定电压。
无功补偿装置调压
由$U1\approx U_2’+\frac{PR+QX}{U_2’}=kU{2R}+\frac{PR+(Q-QC)X}{kU{2R}}$，得到$QC\approx\frac{kU{2R}}X(kU_{2R}-U_2’)$
- 最小补偿容量$Q_C$：（与变压器分接头共同调节）
| 步骤 | 调相机 | 并联电容器 |
|---|---|---|
| $Q_{Cmin}$ | $-KQQ{CN}$（取K=0.5） | $0$ |
| 1 | 将最大最小Q带入公式联立 $k=\frac{U{2Rmax}U’{2max}+2U{2Rmin}U{2min}’}{U{2Rmax}^2+2U{2Rmin}^2}$ |
最小负荷下选分接头 $U{1t}=\frac{U{1min}-\Delta U}{U{2Rmin}}U{2t}$ |
| 2 | 求得变比K后选择最近的分接头，求$Q_{CN}$并验算 | 按上述$Q_C$公式确定补偿容量并验算 |
串联电容调压
上面是改变Q，这个是改变X：$U1\approx U_2+\frac{PR+QX}{U_2}=U{2R}+\frac{PR+Q(X-XC)}{U{2R}}$，得到$XC\approx\frac{U{2R}}Q(U_{2R}-U_2)$
设串联了$n$组电容，每“组”电容由$m$个电容器并联而成，则：
- $m=I{Cmax}/I{CN}$，$n=XC/(\frac{X{CN}}m)$，$Q=3mnQ_{CN}$
无功的经济分配
- 等微增率原则：（目标：$minP_L$）
